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3.平面直角坐标系中,O是坐标原点,点A是第一象限内一点,A(m,n)满足$\left\{{\begin{array}{l}2m-n=10\\ m-2n=-4\end{array}}\right.$过点A分别作x轴和y轴的平行线,交y轴于点B,交x轴于点C.M是线段AB的中点,点P从M点出发沿线段MA-AC向终点C运动,速度为每秒2个单位长度.设点P运动的时间为t(秒).
(1)求出A点坐标.
(2)用含有t的代数式表示线段AP的长度.
(3)作线段OP、PM、OM,当三角形MOP的面积等于直角梯形AMOC的面积的$\frac{1}{2}$时,求t的值,并求出此时点P的坐标.

分析 (1)解方程组求出方程组的解,即可得出答案;
(2)分为两种情况:当P在AM上时,当P在AC上时,求出AP即可;
(3)分为两种情况:当P在AM上时,当P在AC上时,分别求出△MOP和四边形AMOC的面积,即可得出关于t的方程,求出t,即可得出答案.

解答 解:(1)解方程组$\left\{{\begin{array}{l}2m-n=10\\ m-2n=-4\end{array}}\right.$得:$\left\{\begin{array}{l}{m=8}\\{n=6}\end{array}\right.$,
即A的坐标为(8,6);

(2)∵根据题意知:四边形OBAC是矩形,A(8,6),M为AB的中点,
∴OB=AC=6,AB=OC=8,AM=BM=4,
当P在MA上时,AP=4-2t;
当P在AC上时,AP=2t-4;

(3)
当P在AM上时,如图1,
∵当三角形MOP的面积等于直角梯形AMOC的面积的$\frac{1}{2}$,
∴$\frac{1}{2}$•2t•6=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$×(4+8)×6,
解得:t=3,当t=3时,MP=6>AM,此时不符合P在AM上,舍去;
当P在AC上时,如图2,

∵S△OMP=S四边形AMOC-S△AMP-S△OPC=$\frac{1}{2}$×(4+8)×6-$\frac{1}{2}$×4×(2t-4)-$\frac{1}{2}$×(4+6-2t)×8=4+4t,
S四边形AMOC=$\frac{1}{2}×$(4+8)×6=36,
∴4+4t=$\frac{1}{2}$×36,
解得:t=$\frac{7}{2}$,
AP=2t-4=3,CP=6-3=3,
P点的坐标为(8,3).

点评 本题考查了坐标与图形性质,解二元一次方程组,矩形的性质,三角形的面积等知识点的应用,能进行分类讨论是解此题的关键.

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(1)如图1,写出F点的坐标,并求出双曲线的解折式.
(2)如图1,过F点作直线,是否存在这样的直线,它与双曲线两个交点的距离为2;
(3)如图2,过F点作直线,交双曲线于D,E,分别过D、E作直线y=x-2的垂线,垂足分別为M,N,直线OF交直线M,N 于Q点,求证:直线DN平分线段QF.
(参考公式:①在平面直角坐标系中,已知点A(x1,y1),B(x2,y2),则A、B两点之间的距离为丨AB丨=$\sqrt{({x}_{2}-{x}_{1})^{2}+({y}_{2}-{{y}_{1}}^{2})}$;②如果实数x>0,y>0,那么x+y≥2$\sqrt{xy}$,当且仅当x=y时取等号)

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