Question

已知：△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，其中∠ABC=∠ADE=90°，点M为EC的中点．

（1）如图，当点D，E分别在AC，AB上时，求证：△BMD为等腰直角三角形；
（2）如图，将图中的△ADE绕点A逆时针旋转45°，使点D落在AB上，此时问题（1）中的结论“△BMD为等腰直角三角形”还成立吗？请对你的结论加以证明．

Answer 1

分析：（1）根据直角三角形斜边上的中线的性质，推出BM=DM，然后即可推出∠BME=2∠BCM，∠EMD=2∠DCM，再根据等腰直角三角形的性质，即可推出，∠BMD=90°即可推出结论；
（2）延长DM交BC于点N，通过求证△EDM≌△CNM，推出AD=CN，推出BD=BN，BM=

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DN=DM，即可推出BM⊥DN，便可推出“△BMD为等腰直角三角形”．

解答：（1）证明：如图，
∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC=∠ADE=90°，
∴∠EDC=90°，BA=BC，
∴∠BCA=45°，
∵点M为EC的中点，
∴BM=

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EC=MC，DM=

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EC=MC，
∴BM=DM，
∴∠MBC=∠MCB，∠MDC=∠MCD，
∴∠BME=2∠BCM，∠EMD=2∠DCM，
∴∠BMD=∠BME+∠EMD=2∠BCM+2∠DCM
=2（∠BCM+∠DCM）=2∠BCA=2×45°=90°，
∴△BMD为等腰直角三角形．

（2）解：△BMD为等腰直角三角形．理由如下：
延长DM交BC于点N．
∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC=∠ADE=90°，
∴BA=BC，DE=DA，∠EDB=90°，
∴∠EDB=∠DBC，
∴ED∥BC，
∴∠DEC=∠BCE，
∵点M为EC的中点，
∴EM=CM，
∵在△EDM与△CNM中，∠DEM=∠NCM，EM=CM，∠EMD=∠CMN，
∴△EDM≌△CNM，
∴ED=CN，MD=MN，
∴AD=CN，
∴BA-DA=BC-NC，
即BD=BN，
∴BM=

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DN=DM，
∴BM⊥DN，即∠BMD=90°，
∴△BMD为等腰直角三角形．

点评：本题主要考查等腰直角三角形的性质、直角三角形斜边上的中线的性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质的知识点的综合应用，解题关键在于熟练运用相关的性质定理推出BM=DM，∠BMD=90°．