在平面直角坐标系xOy中.点P的坐标为(x1.y1).点Q的坐标为(x2.y2).且x1≠x2.y1≠y2.若P.Q为某正方形的两个顶点.且该正方形的边均与某条坐标轴平行.则称P.Q互为“正方形点 (即点P是点Q的“正方形点 .点Q也是点P的“正方形点 )．下图是点P.Q互为“正方形点的示意图．(1)已知点A的坐标是(2.3).下列坐标中.与点A互为“正方形点的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

18．

在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为（x₁，y₁），点Q的坐标为（x₂，y₂），且x₁≠x₂，y₁≠y₂，若P，Q为某正方形的两个顶点，且该正方形的边均与某条坐标轴平行（含重合），则称P，Q互为“正方形点”（即点P是点Q的“正方形点”，点Q也是点P的“正方形点”）．下图是点P，Q互为“正方形点”的示意图．
（1）已知点A的坐标是（2，3），下列坐标中，与点A互为“正方形点”的坐标是①③．（填序号）
①（1，2）；②（-1，5）；③（3，2）．
（2）若点B（1，2）的“正方形点”C在y轴上，求直线BC的表达式；
（3）点D的坐标为（-1，0），点M的坐标为（2，m），点N是线段OD上一动点（含端点），若点M，N互为“正方形点”，求m的取值范围．

分析（1）根据正方形的性质可得出|x₁-x₂|=|y₁-y₂|，对照①②③的坐标即可得出结论；
（2）由点B的坐标结合互为“正方形点”的坐标特征，即可得出点C的坐标，再利用待定系数法即可求出直线BC的表达式；
（3）过点O、D分别作与x轴夹角为45°的直线，找出点O、D对应的“正方形点”的坐标，由此即可得出结论．

解答解：（1）∵点P（x₁，y₁）、点Q（x₂，y₂）互为“正方形点”，
∴|x₁-x₂|=|y₁-y₂|．
∵|2-1|=|3-2|，|-1-2|≠|5-3|，|3-2|=|2-3|，
∴与点A互为“正方形点”的坐标是①（1，2）；③（3，2）．
故答案为：①③．
（2）∵点B（1，2）的“正方形点”C在y轴上，
∴点C的坐标为（0，1），（0，3），
设直线BC的表达式为y=kx+b，
将点B、C的坐标代入y=kx+b，
$\left\{\begin{array}{l}{b=1}\\{k+b=2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{b=3}\\{k+b=2}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=3}\end{array}\right.$，
∴直线BC的表达式为y=x+1或y=-x+3．
（3）过点O、D分别作与x轴夹角为45°的直线，如图所示．
∵点M的坐标为（2，m），点N是线段OD上一动点（含端点），点M，N互为“正方形点”，
∴点D的正方形点坐标是（2，3），（2，-3），点O的正方形点坐标是（2，2），（2，-2），
∴2≤m≤3或-3≤m≤-2．

点评本题考查了两条直线相交或平行问题、正方形的性质以及待定系数法求一次函数解析式，解题的关键是：（1）根据正方形的性质找出|x₁-x₂|=|y₁-y₂|；（2）根据点B的坐标找出点C的坐标；（3）分别找出点O、D的正方形点坐标．

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