Question

如图，A、B、C三点在⊙O上，，∠1＝∠2．

(1)判断OA与BC的位置关系，并说明理由；

(2)求证：四边形OABC是菱形；

(3)过A作⊙Ｏ的切线交CB的延长线于P，且OA＝4，求△APB的周长．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)OA∥BC　1分 　　理由：∵OA＝OC　∴∠1＝∠3　2分 　　∵∠1＝∠2　∴∠2＝∠3　3分 　　∴OA∥BC　4分 　　(2)(方法一)　∵　∴∠2＝∠4　5分 　　∵∠2＝∠1∴∠1＝∠4　6分 　　∴AB∥OC　7分 　　由(1)得∴OA∥BC　∴四边形OABC是平行四边形　8分 　　又∵OA＝OC　∴四边形OABC是菱形　10分 　　(方法二)∵ 　　∴∠2＝∠4　5分 　　由(1)得∠2＝∠3　∴∠3＝∠4　6分 　　在△AOC与△ABC中，∠1＝∠2，AC＝AC，∠3＝∠4 　　∴△AOC≌△ABC 　　∴OA＝BA，OC＝BC　8分 　　又∵OA＝OC　∴OA＝AB＝BC＝OC 　　∴四边形OABC是菱形　10分 　　(方法三)连接OB 　　∵　∴∠3＝∠4，AB＝BC　6分 　　由(1)得OA∥BC　∴∠3＝∠5 　　∴∠4＝∠5 　　∴BC＝OC　8分 　　又∵OA＝OC 　　∴OA＝AB＝BC＝OC 　　∴四边形OABC是菱形　10分 　　(方法四)连结OB　∵　∴∠3＝∠4 　　又∵OA＝OC 　　∴OB垂直平分AC　6分 　　由(1)得OA∥BC　∴∠3＝∠5 　　∴∠4＝∠5 　　∴BC＝OC　8分 　　又∵∠1＝∠2　∴AC垂直平分OB 　　∴AC与OB互相垂直平分 　　∴四边形OABC是菱形　10分 　　(1)∵AP与⊙O相切 　　∴∠OAP＝90°由(1)得OA∥BC 　　∴∠P＝90°　11分 　　由(2)得OA＝AB＝4 　　又∵OA＝OB 　　∴△OAB是等边三角形 　　∴∠OAB＝60° 　　∴∠BAP＝30°　12分 　　在Rt△ABP中，PB＝AB＝2，AP＝AB·cos∠PAB＝4cos30°＝　13分 　　∴△ABP的周长为4＋2＋＝6＋　14分