Question

（2012•合川区模拟）某地出产一种特色蔬菜，为了扩大生产规模，该地决定对这种蔬菜的种植实行政府补贴，规定每种植一亩这种蔬菜一次性补贴菜农若干元，随着补贴数额的不断增大，生产规模也不断增加，但每亩蔬菜的收益会相应降低．经调查，种植亩数y（亩）和每亩蔬菜的收益z（元）与补贴数额x（元）之间均为一次函数关系，其对应值如表：

x（元）	0	100	200	300	…
y（亩）	400	600	800	1000	…
z（元）	2400	2100	1800	1500	…

（1）在政府出台补贴措施前，该地种植这种蔬菜的总收益为多少？
（2）政府出台补贴措施后，要使该地这种蔬菜的总收益w（元）最大，政府应该将每亩补贴数额x定为多少元？并求出总收益w的最大值和此时种植亩数．
（3）若该地今年刚好取得最大总收益，为提高菜农的经济收入，农业部门通过对种子的技术改良，每亩收益将逐步提高，计划每年一亩今年、明年、后年三年共收益5460元，求明年、后年平均每年提高的百分率．

Answer 1

分析：（1）当x=0时，种植亩数为400，每亩收益为2400元，相乘即为总收益；
（2）求得种植亩数及每亩收益与x的关系式，总收益=两个关系式的乘积，求得二次函数的对称轴，进而求得二次函数的最值即可；
（3）根据三年的总收益为5460元列出关系式求解即可．

解答：解：（1）总收益为：2400×400=960000元；

（2）设y=kx+400，则：100k+400=600，解得k=2，∴y=2x+400；
设z=ax+2400，则：100a+2400=2100，解得a=-3，∴z=-3x+2400；
w=（2x+400）（-3x+2400），
当x=

-200+800

2

=300时，w_最大=1000×1500=1500000元；
种植亩数为1000，
答：种植亩数为1000时，利润最大，为1500000元；

（3）由表格中可以看出，当种植亩数为1000亩时，每亩的收益为1500元．设增长率为b．
1500+1500×（1+a）+1500×（1+a）²=5460，
a²+3a-0.64=0，
（a+3.2）（a-0.2）=0，
解得a₁=-3.2，a₂=0.2=20%，
答：平均百分率为20%．

点评：考查二次函数的应用；得到种植亩数及每亩收益与x的关系式是解决本题的关键．