Question

已知，一张矩形纸片ABCD的边长分别为9cm和3cm，把顶点A和C叠合在一起，得折痕EF（如图）．
（1）猜想四边形AECF是什么四边形，并证明你的猜想；
（2）求折痕EF的长．

Answer 1

解：（1）菱形，理由如下：
∵四边形ABCD为矩形，
∴AB∥CD，∠AFE=∠CEF．
∵矩形ABCD沿EF折叠，点A和C重合，
∴∠CEF=∠AEF，AE=CE
∴∠AFE=∠AEF，
∴AE=AF．
∴AF=CE，
又∵AF∥CE，
∴AECF为平行四边形，
∵AE=EC，即四边形AECF的四边相等．
∴四边形AECF为菱形．
（2）∵AB=9cm，BC=3cm，
∴AC=3cm，AF=CF
∴在Rt△BCF中，设BF=xcm，
则CF=（9﹣x）cm，
由勾股定理可得（9﹣x）²=x²+3²，
即18x=72，
解得x=4，
则CF=5，BF=4，
由面积可得：AC·EF=AF·BC
即3·EF=5×3
∴EF=cm．