Question

如图1，已知Rt△ABC的直角边AC的长为2，以AC为直径的⊙O与斜边AB交于点D，过D点作⊙O的切线

（1）求证：BE=DE；
（2）延长DE与AC的延长线交于点F，若DF=

3

，求△ABC的面积；
（3）从图1中，显然可知BC＜AC．试分别讨论在其它条件不变，当BC=AC（图2）和BC＞AC（图3）时，直线DE与直线AC还会相交吗？若不能相交，请简要说明理由；若能相交，设交点为F'且DF'=

3

，请再求出△ABC的面积．

Answer 1

分析：（1）连接OD，可证得∠ADO+∠BDE=90°，再根据OA=OD，得∠A=∠ADO，可得出∠B=∠BDE，即证出BE=DE；
（2）画出图形，然后观察图形．在直角三角形ODF中，OD=1，DF=

3

，所以∠OFD=30°，OF=2，AF=3，再根据三角函数求得BC；
（3）当BC=AC时，直线DE与直线AC平行；当BC＞AC时，画出图形，然后观察图形．在直角三角形ODF′中，OD=1，DF′=

3

，所以∠OF′D=30°，OF′=2，AF′=1；
则∠BAC=60°，再根据三角函数求得BC．

解答：（1）证明：连接OD，
∴OD⊥DE，
∴∠ADO+∠BDE=90°，
∵OA=OD，∴∠A=∠ADO，
∵∠ACB=90°，∴∠B+∠A=90°，
∴∠B=∠BDE，∴BE=DE；

（2）解：在直角三角形ODF中，OD=1，DF=

3

，∴∠OFD=30°，
∴OF=2，AF=3．
∴tan∠A=

BC

AC

，
∴BC=AC•tan∠A=2×tan30°=

2  3

3

．
S_△ABC=

1

2

AC•BC=

1

2

×2×

2 3

3

=

2  3

3

；

（3）解：如图，
当BC=AC时，直线DE与直线AC平行；
当BC＞AC时，
在直角三角形ODF′中，OD=1，DF′=

3

，∴∠OF′D=30°，
∴OF′=2，AF=1，∴CF′=3，∠BAC=60°，
∴tan∠BAC=

BC

AC

，
∴BC=AC•tan∠BAC=2×tan60°=2

3

．
S_△ABC=

1

2

AC•BC=

1

2

×2×2

3

=2

3

．

点评：本题考查了切割线定理、圆周角定理、切线的性质以及特殊角的三角函数值，是基础知识要熟练掌握．