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13.如图,抛物线y=-$\frac{1}{2}$x2+bx+c的图象与x轴交于A(-4,0)、B(1,0)两点,与y轴交于点C,连结AC.
(1)求该抛物线的函数表达式;
(2)动点M从点A出发,沿AC方向以$\sqrt{5}$个单位/秒的速度向终点C匀速运动,动点N从点O出发,沿着OA方向以$\frac{3}{2}$个单位/秒的速度向终点A匀速运动,设点M、N同时出发,运动时间为t(0<t≤2);
①连结MN、NC,当t为何值时,△CMN为直角三角形;
②在两个动点运动的过程中,该抛物线上是否存在点P,使得以点O、P、M、N为顶点的四边形是平行四边形?若存在,求出点P的坐;若不存在,请说明理由.

分析 (1)由题意假设抛物线的解析式为y=-$\frac{1}{2}$(x+4)(x-1),展开化简即可;
(2)①分两种情形①当∠MNC=90°,如图1中,作MH⊥AB于H,当∠NMC=90°时,作MH⊥OA于H,分别构建方程即可解决问题;
②分三种情形分别讨论由题意M((2t-4,t),N(-$\frac{3}{2}$t,0),设P(m,n).a、当MN为对角线时,由中点坐标公式可知$\frac{m+0}{2}$=$\frac{2t-4-\frac{3}{2}t}{2}$,$\frac{n+0}{2}$=$\frac{t+0}{2}$,解得m=$\frac{1}{2}$t-4,n=t,可得P($\frac{1}{2}$t-4,t),把点P坐标代入y=-$\frac{1}{2}$x2-$\frac{3}{2}$x+2,解方程即可解决.b、当OM为对角线时,同法可得P($\frac{7}{2}$t-4,t).c、ON为对角线时,不存在;

解答 解:(1)由题意假设抛物线的解析式为y=-$\frac{1}{2}$(x+4)(x-1),
即y=-$\frac{1}{2}$x2-$\frac{3}{2}$x+2.

(2)显然∠NCM≠90°.
①当∠MNC=90°,如图1中,作MH⊥AB于H.

∵MH∥OC,
∴$\frac{AM}{AC}$=$\frac{AH}{AO}$=$\frac{MH}{OC}$,
∵AM=$\sqrt{5}$t,PA=4.OC=2,AC=2$\sqrt{5}$,
∴HM=t.AH=2t,HN=4-$\frac{3}{2}$t-2t=4-$\frac{7}{2}$t,
由△MNH∽△CNO,可得$\frac{HN}{CO}$=$\frac{MH}{NO}$,
∴$\frac{4-\frac{7}{2}t}{2}$=$\frac{t}{\frac{3}{2}t}$,
解得t=$\frac{16}{21}$,
当∠NMC=90°时,作MH⊥OA于H,如图2中,

由△AHM∽△MHN,可得HM2=AH•HN,
∴t2=2t•(4-$\frac{7}{2}$t),
解得t=1,
综上所述,t=$\frac{16}{21}$s或1s时,△CNM是直角三角形.

②由题意M((2t-4,t),N(-$\frac{3}{2}$t,0),设P(m,n).
a、当MN为对角线时,由中点坐标公式可知$\frac{m+0}{2}$=$\frac{2t-4-\frac{3}{2}t}{2}$,$\frac{n+0}{2}$=$\frac{t+0}{2}$,
解得m=$\frac{1}{2}$t-4,n=t,
∴P($\frac{1}{2}$t-4,t),把点P坐标代入y=-$\frac{1}{2}$x2-$\frac{3}{2}$x+2,
∴t=-$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$t×($\frac{1}{2}$t-5),
解得t=2或0(舍弃),
此时P(-3,2).
b、当OM为对角线时,同法可得P($\frac{7}{2}$t-4,t),
把点P坐标代入y=-$\frac{1}{2}$x2-$\frac{3}{2}$x+2,得到t=-$\frac{1}{2}$×$\frac{7}{2}$t×($\frac{7}{2}$t-5)
解得t=$\frac{62}{49}$.
此时P($\frac{3}{7}$,$\frac{62}{49}$).
c、ON为对角线时,不存在.
综上所述,满足条件的点P坐标P(-3,2)或($\frac{3}{7}$,$\frac{62}{49}$).

点评 本题考查二次函数综合题、直角三角形的判定和性质、中点坐标公式、待定系数法、平行四边形的判定和性质等知识,解题的关键是灵活应用中点坐标公式解决问题,学会用分类讨论的思想思考问题,属于中考压轴题.

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