Question

设直线kx+（k+1）y-1=0（k为正整数）与坐标轴所构成的直角三角形的面积为S_k（k=1，2，3，4，…，2009），请写出S_k=

 

；则S₁+S₂+S₃+S₄+…+S₂₀₀₈+S₂₀₀₉=

 

．

Answer 1

分析：由于直线kx+（k+1）y-1=0（k为正整数），可以分别确定直线与坐标轴的两个交点坐标，然后利用坐标即可确定与坐标轴所构成的直角三角形的面积，然后根据面积即可求出S₁+S₂+S₃+S₄+…+S₂₀₀₈+S₂₀₀₉的值．

解答：解：∵直线kx+（k+1）y-1=0（k为正整数），
当x=0时，y=

1

k+1

，
当y=0时，x=

1

k

，
∴直线kx+（k+1）y-1=0（k为正整数）与坐标轴所构成的直角三角形的面积为S_k=

1

2

•

1

k(k+1)

=

1

2k(k+1)

；
∴S₁+S₂+S₃+S₄+…+S₂₀₀₈+S₂₀₀₉
=

1

2

（

1

1×2

+

1

2×3

+…+

1

2009×2010

）
=

1

2

（1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

2009

-

1

2010

）
=

2009

4020

．
故答案为：

1

2k(k+1)

；

2009

4020

．

点评：此题主要考查一次函数与坐标轴所围成的直角三角形的面积问题，数学根据解析式求出与坐标轴的交点坐标，然后利用坐标表示相关的线段的长度，然后利用三角形的面积即可解决问题．