Question

已知：点P是x轴负半轴上的一点，点A（4，0）在x轴上，点B在y轴的正半轴上，直线AB切⊙P于点D．⊙P的半径为15，AP与⊙P交于点C，PO-2OC=9．
求：（1）点P的坐标和AP的长；
（2）直线AB的函数解析式．

Answer 1

【答案】分析：（1）当点C在线段PO上时（如图一），有PO-OC=PC=15，且PO-2OC=9，解方程组可求PO，从而确定点P的坐标和AP的长，当点C在线段AO上时（如图二），有PO+OC=PC=15，且PO-2OC=9，解方程组可求PO，从而确定点P的坐标和AP的长；
（2）根据（1）的两种情况，连接PD，分别在Rt△APD中，由勾股定理求AD，由△ABO∽△APD，利用相似比求OB，确定B点坐标，根据A、B两点坐标求直线AB的解析式．
解答：解：（1）当点C在线段PO上时，（如图一），
∵⊙P的半径为9，∴PC=15，∴PO-OC=15，
∵PO-2OC=9，∴PO=21，OC=6，
∴点P（-21，0）…（1分）
∵点A（4，0），∴AP=25．…（1分）
当点C在线段AO上时（如图二），
∵⊙P的半径为9，∴PC=15，∴PO+OC=15，
∵PO-2OC=9，∴PO=13，OC=2，
∴点P（-13，0）…（1分）
∵点A（4，0），∴AP=17．…（1分）

（2）当点C在线段PO上时，连接PD（如图一），
∵AB切⊙P于点D，∴PD⊥AD，PD=15．
∵AP=25，∴AD²+PD²=AP²，∴AD=20． …（1分）
∵△ABO∽△APD，∴AO：AD=OB：PD，即4：20=OB：15，∴OB=3，…（1分）
∴可以求得切线AB的函数解析式为y=-x+3． …（2分）
当点C在线段AO上时，连接PD（如图二），
∵AB切⊙P于点D，∴PD⊥AD，PD=15．
∵AP=17，∴AD²+PD²=AP²，∴AD=8．…（1分）
∵△ABO∽△APD，
∵△ABO∽△APD，∴AO：AD=OB：PD，即4：8=OB：15，∴OB=，…（1分）
∴可以求得切线AB的函数解析式为y=-x+． …（2分）
点评：本题考查了一次函数的综合运用．关键是点C的位置分类，由勾股定理，相似三角形求B点坐标，确定直线AB的解析式．