Question

求证：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．

Answer 1

分析：首先写出已知、求证，画出图形，借助等边三角形的判定和性质证明或借助三角形的外接圆证明．

解答：
已知，在Rt△ABC中，∠A=30°，∠ACB=90°．
求证：BC=

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AB．
证明：
证法一：如答图所示，延长BC到D，使CD=BC，连接AD，易证AD=AB，∠BAD=60°．
∴△ABD为等边三角形，
∴AB=BD，
∴BC=CD=

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AB，即BC=

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AB．

证法二：如答图所示，取AB的中点D，
连接DC，有CD=

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AB=AD=DB，
∴∠DCA=∠A=30°，∠BDC=∠DCA+∠A=60°．
∴△DBC为等边三角形，
∴BC=DB=

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AB，即BC=

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AB．

证法三：如答图所示，在AB上取一点D，使BD=BC，
∵∠B=60°，
∴△BDC为等边三角形，
∴∠DCB=60°，∠ACD=90°-∠DCB=90°-60°=30°=∠A．
∴DC=DA，即有BC=BD=DA=

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AB，
∴BC=

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AB．

证法四：如图所示，作△ABC的外接圆⊙D，∠C=90°，AB为⊙O的直径，
连DC有DB=DC，∠BDC=2∠A=2×30°=60°，
∴△DBC为等边三角形，
∴BC=DB=DA=

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AB，即BC=

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AB．

点评：此题考查了直角三角形性质的证明过程，能够熟练运用等边三角形的判定和性质进行证明．