分析 （1）由两抛物线解析式可分别用a和b表示出A、B两点的坐标，利用B为OA的中点可得到a和b之间的关系式；
（2）由抛物线解析式可先求得C点坐标，过C作CD⊥x轴于点D，可证得△OCD∽△CAD，由相似三角形的性质可得到关于a的方程，可求得OA和CD的长，可求得△OAC的面积；
（3）①连接OC与l的交点即为满足条件的点P，可求得OC的解析式，则可求得P点坐标；
②设出E点坐标，则可表示出△EOB的面积，过点E作x轴的平行线交直线BC于点N，可先求得BC的解析式，则可表示出EN的长，进一步可表示出△EBC的面积，则可表示出四边形OBCE的面积，利用二次函数的性质可求得其最大值，及E点的坐标．
解答 解：
（1）在y=x2+ax中，当y=0时，x2+ax=0，x1=0，x2=-a，
∴B（-a，0），
在y=-x2+bx中，当y=0时，-x2+bx=0，x1=0，x2=b，
∴A（0，b），
∵B为OA的中点，
∴b=-2a，
∴$\frac{a}{b}=-\frac{1}{2}$；
（2）联立两抛物线解析式可得$\left\{\begin{array}{l}y={x^2}+ax\\ y=-{x^2}-2ax\end{array}\right.$，消去y整理可得2x2+3ax=0，解得x1=0，${x_2}=-\frac{3}{2}a$，
当$x=-\frac{3}{2}a$时，$y=\frac{3}{4}{a^2}$，
∴$C（{-\frac{3}{2}a，\frac{3}{4}{a^2}}）$，
过C作CD⊥x轴于点D，如图1，
∴$D（{-\frac{3}{2}a，0}）$，
∵∠OCA=90°，
∴△OCD∽△CAD，
∴$\frac{CD}{AD}=\frac{OD}{CD}$，
∴CD2=AD•OD，即${（{\frac{3}{4}{a^2}}）^2}=-\frac{1}{2}a•（{-\frac{3}{2}a}）$，
∴a1=0（舍去），${a_2}=\frac{2}{3}\sqrt{3}$（舍去），${a_3}=-\frac{2}{3}\sqrt{3}$，
∴$OA=-2a=\frac{4}{3}\sqrt{3}$，$CD=\frac{3}{4}{a^2}=1$，
∴${S_{△OAC}}=\frac{1}{2}OA•CD=\frac{2}{3}\sqrt{3}$；
（3）①抛物线${C_2}：y=-{x^2}+\frac{{4\sqrt{3}}}{3}x$，
∴其对称轴${l_2}：x=\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$，
点A关于l2的对称点为O（0，0），$C（\sqrt{3}，1）$，
则P为直线OC与l2的交点，
设OC的解析式为y=kx，
∴$1=\sqrt{3}k$，得$k=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，
∴OC的解析式为$y=\frac{{\sqrt{3}}}{3}x$，
当$x=\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$时，$y=\frac{2}{3}$，
∴$P（\frac{{2\sqrt{3}}}{3}，\frac{2}{3}）$；
②设$E（m，-{m^2}+\frac{{4\sqrt{3}}}{3}），（0≤m≤\frac{{2\sqrt{3}}}{3}）$，
则${S_{△OBE}}=\frac{1}{2}×\frac{{2\sqrt{3}}}{3}•（-{m^2}+\frac{{4\sqrt{3}}}{3}）=-\frac{{\sqrt{3}}}{3}{m^2}+\frac{4}{3}m$，
而$B（\frac{{2\sqrt{3}}}{3}，0）$，$C（\sqrt{3}，1）$，
设直线BC的解析式为y=kx+b，
由$\left\{{\begin{array}{l}{1=\sqrt{3}k+b}\\{0=\frac{{2\sqrt{3}}}{3}k+b}\end{array}}\right.$，解得$k=\sqrt{3}，b=-2$，
∴直线BC的解析式为$y=\sqrt{3}x-2$，
过点E作x轴的平行线交直线BC于点N，如图2，
则$-{m^2}+\frac{{4\sqrt{3}}}{3}m=\sqrt{3}x-2$，即x=$-\frac{{\sqrt{3}}}{3}{m^2}+\frac{4}{3}m+\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$，
∴EN=$-\frac{{\sqrt{3}}}{3}{m^2}+\frac{4}{3}m+\frac{{2\sqrt{3}}}{3}-m=-\frac{{\sqrt{3}}}{3}{m^2}+\frac{1}{3}m+\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$，
∴${S_{△EBC}}=\frac{1}{2}•1•（-\frac{{\sqrt{3}}}{3}{m^2}+\frac{1}{3}m+\frac{{2\sqrt{3}}}{3}）=-\frac{{\sqrt{3}}}{6}{m^2}+\frac{1}{6}m+\frac{{\sqrt{3}}}{3}$
∴S四边形OBCE=S△OBE+S△EBC=$（-\frac{{\sqrt{3}}}{3}{m^2}+\frac{4}{3}m）+（-\frac{{\sqrt{3}}}{6}{m^2}+\frac{1}{6}m+\frac{{\sqrt{3}}}{3}）$=$-\frac{{\sqrt{3}}}{2}{m^2}+\frac{3}{2}m+\frac{{\sqrt{3}}}{3}=-\frac{{\sqrt{3}}}{2}{（m-\frac{{\sqrt{3}}}{2}）^2}+\frac{{17\sqrt{3}}}{24}$，
∵$0≤m≤\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$，
∴当$m=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$时，${S_{最大}}=\frac{{17\sqrt{3}}}{24}$，
当$m=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$时，$y=-{（\frac{{\sqrt{3}}}{2}）^2}+\frac{{4\sqrt{3}}}{3}•\frac{{\sqrt{3}}}{2}=\frac{5}{4}$，
∴$E（\frac{{\sqrt{3}}}{2}，\frac{5}{4}）$，${S_{最大}}=\frac{{17\sqrt{3}}}{24}$．
点评 本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、相似三角形的判定和性质、轴对称的性质、三角形的面积、二次函数的性质及方程思想等知识．在（1）中分别表示出A、B的坐标是解题的关键，在（2）中求得C点坐标，利用相似三角形的性质求得a的值是解题的关键，在（3）①中确定出P点的位置是解题的关键，在（3）②中用E点坐标分别表示出△OBE和△EBC的面积是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，计算量较大，难度较大．
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已知直线a∥b，一块直角三角板如图所示放置，若∠1=37°，则∠2的度数是（ ）