Question

14．已知，如图：?ABCD中，对角线相交于O点，AB⊥AC，AB=AC，沿对角线AC将△ABC翻折至△AEC，EC与AD相交于F．
（1）∠FCD=45°度；
（2）试判断△FAC的形状，并说明理由；
（3）若AB=4cm，P为对角线BD上一动点，P以1cm/s的速度从B往D运动，时间为t秒，问t为何值时，△POA为等腰三角形？请直接写出t的值．

Answer 1

分析 （1）分别求出∠BCD，∠BCE即可解决问题．
（2）结论：△ACF是等腰直角三角形，只要证明∠CAF=∠ACF=45°即可．
（3）分三种情形讨论①当P运动到OB中点时，当AP₂=AO时，③当OA=OP₃时，分别求出t即可．

解答 解：（1）∵AB⊥AC，AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠BCD=180°-∠ABC=135°，
∵△CAE是由△CAB翻折得到，
∴∠ACB=∠ACE=45°，
∴∠BCE=90°，
∴∠FCD=∠BCD-∠BCE=45°，
故答案为45°．

（2）结论：△FAC是等腰直角三角形．
理由：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠CAD=∠ACB=45°，
∵∠ACF=45°，
∴∠FAC=∠FCA=45°，
∴∠AFC=90°，FA=FC，
∴△FAC是等腰直角三角形．

（3）在Rt△ABO中，∵AB=4，AO=2，
∴BO=$\sqrt{A{B}^{2}+A{O}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
①当P运动到OB中点时，P₁A=P₁O=P₁B，△OAP₁是等腰三角形，此时t=$\sqrt{5}$．
②当AP₂=AO时，作AM⊥OB于M，
∵AM=$\frac{AB×AO}{BO}$=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，
∴P₂M=OM=$\sqrt{A{O}^{2}-A{M}^{2}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∴BP₂=BO-2OM=$\frac{6\sqrt{5}}{5}$，
此时t=$\frac{6\sqrt{5}}{5}$．
③当OA=OP₃时，BP₃=2$\sqrt{5}$+2，此时t=2$\sqrt{5}$+2，
综上所述当t=$\sqrt{5}$秒或$\frac{6\sqrt{5}}{5}$秒或（2$\sqrt{5}$+2）秒时，△AOP是等腰三角形．

点评 本题考查四边形综合题、平行四边形的性质、等腰直角三角形的判定和性质、等腰三角形的判定等知识，解题的关键是学会分类讨论，不能漏解，属于中考常考题型．