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10.已知,如图,在平行四边形ABCD中,∠ABC=60°,AB=20cm,AD=30cm,动点Q从点A出发,沿AB向点B匀速运动,速度为2cm/s,同时,动点P从点B出发,沿BC向点C匀速运动,速度为3cm/s,当点P停止运动时,点Q也随之停止运动,连接PQ,设运动的时间为t秒(0<t<10).
(1)当t为何值时,PQ⊥AB?
(2)设五边形AQPCD的面积为S(cm2),求S与t的函数关系式;
(3)是否存在某一时刻使得点B在线段PQ的垂直平分线上?若存在,求出此时t的值,并求出此时五边形AQPCD的面积;若不存在,请说明理由;
(4)试用含t的代数式表示线段PQ的长度.

分析 (1)先由PQ⊥AB得出直角三角形,再用锐角三角函数建立方程求解即可;
(2)先求出平行四边形ABCD的边BC上的高AF=10$\sqrt{3}$,从而求出平行四边形ABCD的面积,再求出三角形BPQ的面积,做差即可;
(3)由条件得出BQ=BP,求出时间t的值,代入(2)的函数关系式中即可求出五边形AQPCD的面积;
(3)利用锐角三角函数求出BE,QE,再用勾股定理求出PE,从而得出PQ.

解答 解:(1)由运动知AQ=2t,BP=3t,
∴BQ=AB-AQ=20-2t,
∵PQ⊥AB,
∴∠BQP=90°,
在Rt△BQP中,∠ABC=60°,
∴cos∠ABC=$\frac{BQ}{BP}$,
∴$\frac{1}{2}$=$\frac{20-2t}{3t}$,
∴t=$\frac{40}{7}$,
(2)如图,

过点Q作QE⊥BC,过点A作AF⊥BC,
∴∠BEQ=∠AFB=90°,
在Rt△ABF中,AF=ABsin∠ABC=20×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=10$\sqrt{3}$
∴S平行四边形ABCD=BC×AF=30×10$\sqrt{3}$=300$\sqrt{3}$,
在Rt△BEQ中,∠ABC=60°,
∴cos∠ABC=$\frac{BE}{BQ}$,
∴BE=BQcos∠ABC=(20-2t)×$\frac{1}{2}$=10-t,
QE=BQsin∠ABC=(20-2t)×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$(10-t),
∴S△BPQ=$\frac{1}{2}$BP×QE=$\frac{1}{2}$×3t×$\sqrt{3}$(10-t)=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$t(10-t).
∴S=S平行四边形ABCD-S△BPQ=300$\sqrt{3}$-$\frac{3\sqrt{3}}{2}$t(10-t)=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$t2-15$\sqrt{3}$t+300$\sqrt{3}$.
(3)存在,
∵点B在线段PQ的垂直平分线上,
∴BQ=BP,
∴20-2t=3t,
∴t=4,
∴S=S平行四边形ABCD-S△BPQ=300$\sqrt{3}$-$\frac{3\sqrt{3}}{2}$t(10-t)=300$\sqrt{3}$-$\frac{3\sqrt{3}}{2}$×4(10-4)=264$\sqrt{3}$,
(4)在Rt△BEQ中,∠ABC=60°,
∴cos∠ABC=$\frac{BE}{BQ}$,
∴BE=BQcos∠ABC=(20-2t)×$\frac{1}{2}$=10-t,
QE=BQsin∠ABC=(20-2t)×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$(10-t),
在Rt△QPE中,PE=BP-BE=3t-(10-t)=4t-10,
∴PQ=$\sqrt{Q{E}^{2}+P{E}^{2}}$=$\sqrt{[\sqrt{3}(10-t)]^{2}+(4t-10)^{2}}$=$\sqrt{5{t}^{2}-52t+200}$.

点评 此题是四边形综合题,主要考查了锐角三角函数,勾股定理,三角形的面积,平行四边形的面积,垂直平分线的性质,垂直的意义,解本题的关键是求出求出三角形PQB的面积.难点是求出PQ.

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