Question

已知：矩形ABCD（字母顺序如图）的边长AB=3，AD=2，将此矩形放在平面直角坐标系xOy中，使AB在x轴正半轴上，而矩形的其它两个顶点在第一象限，且直线y=x-1经过这两个顶点中的一个．
（1）求出矩形的顶点A、B、C、D的坐标；
（2）以AB为直径作⊙M，经过A、B两点的抛物线，y=ax²+bx+c的顶点是P点．
①若点P位于⊙M外侧且在矩形ABCD内部，求a的取值范围；
②过点C作⊙M的切线交AD于F点，当PF∥AB时，试判断抛物线与y轴的交点Q是位于直线y=x-1的上方？还是下方？还是正好落在此直线上？并说明理由．

Answer 1

解：（1）如图，建立平面直角坐标系，
∵矩形ABCD中，AB=3，AD=2，
设A（m，0）（m＞0），则有B（m+3，0）；C（m+3，2），D（m，2）；
若C点过y=x-1；则2=（m+3）-1，
m=-1与m＞0不合；
∴C点不过y=x-1；
若点D过y=x-1，则2=m-1，m=2，
∴A（2，0），B（5，0），C（5，2），D（2，2）；

（2）①∵⊙M以AB为直径，
∴M（，0），
由于y=ax²+bx+c过A（2，0）和B（5，0）两点，
∴，
∴，
∴y=ax²-7ax+10a
（也可得：y=a（x-2）（x-5）=a（x²-7x+10）=ax²-7ax+10a）
∴y=a（x-）²-a；
∴抛物线顶点P（，-a）
∵顶点同时在⊙M内和在矩形ABCD内部，
∴＜-a＜2，
∴-＜a＜-．
②设切线CF与⊙M相切于Q，交AD于F，设AF=n，n＞0；
∵AD、BC、CF均为⊙M切线，
∴CF=n+2，DF=2-n；在Rt△DCF中，
∵DF²+DC²=CF²；
∴3²+（2-n）²=（n+2）²，
∴n=，
∴F（2，）
∴当PF∥AB时，P点纵坐标为；
∴-a=，
∴a=-；
∴抛物线的解析式为：y=-x²+x-5，
抛物线与y轴的交点为Q（0，-5），
又直线y=x-1与y轴交点（0，-1）；
∴Q在直线y=x-1下方．
分析：（1）首先建立平面直角坐标系，由矩形ABCD中，AB=3，AD=2，设A（m，0）（m＞0），则有B（m+3，0）；C（m+3，2），D（m，2）；然后若C点过y=x-1与C点不过y=x-1分析，即可求得矩形的顶点A、B、C、D的坐标；
（2）⊙M以AB为直径，即可求得M点的坐标，又由y=ax²+bx+c过A（2，0）和B（5，0）两点，利用待定系数法即可求得二次函数的图象，然后顶点同时在⊙M内和在矩形ABCD内部，即可求得a的取值范围；
②首先设切线CF与⊙M相切于Q，交AD于F，设AF=n，n＞0；由AD、BC、CF均为⊙M切线，求得CF与DF的长；在Rt△DCF中，由勾股定理求得n的值，可得F的坐标，然后由当PF∥AB时，求得抛物线的解析式与抛物线与y轴的交点Q的坐标，则可得Q在直线y=x-1下方．
点评：此题考查了待定系数法求二次函数的解析式，矩形的性质，勾股定理的应用以及点与函数的关系等知识．此题综合性很强，难度较大，解题的关键是方程思想与数形结合思想的应用．