Question

11．△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，点D是底边上一动点，连接AD，以线段AD为边向线段AD的右侧作等边△ADE，连接BE，点F是线段BE中点，连接AF．
（1）如图1，当点E恰好落在边AC上时，若BC=8，求线段BE的长；
（2）如图2，求证：CD=2AF；
（3）如图3，连接DF，请探究线段AF，DF及BC应满足的数量关系．

Answer 1

分析 （1）如图1中，作EM⊥BC于M．证明EM是△ADC的中位线，求出EM、BM利用勾股定理即可解决．
（2）如图2中，延长AF到M，使得FM=AF，连接BM．先证明△AFE≌△MFB，再证明△ABM≌△CAD即可解决问题．
（3）结论：BC=$\sqrt{3}$DF+3AF．如图3中，作AN⊥BC于N，DH⊥AC于H．首先证明四边形AFDH是矩形，再证明AC=DF+$\sqrt{3}$DH=DF+$\sqrt{3}$AF，根据BC=2CN=2•AC•cos30°即可解决问题．

解答 （1）解：如图1中，作EM⊥BC于M．

当点E在AC上时，∠DAB=∠DAC=60°，
∵AB=AC，
∴AD⊥BC，BD=DC=4，
∵∠C=30°，
∴AC=2AD，AD=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
∵AD=AE=DE，
∴AE=EC，
∵AD∥EM，
∴DM=CM=2，
∴EM=$\frac{1}{2}$AD=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
在Rt△BEM中，BE=$\sqrt{B{M}^{2}+E{M}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}+（\frac{2\sqrt{3}}{3}）^{2}}$=$\frac{4\sqrt{21}}{3}$．

（2）证明：如图2中，延长AF到M，使得FM=AF，连接BM．

∵△ADE是等边三角形，
∴AD=AE，∠DAE=60°，
在△AFE和△MFB中，
$\left\{\begin{array}{l}{AF=FM}\\{∠AFE=∠MFB}\\{FE=FB}\end{array}\right.$，
∴△AFE≌△MFB，
∴BM=AE=AD，∠MBF=∠AEF，
∴BM∥AE，
∴∠MBA+∠BAE=180°，
∵∠DAC+∠BAE=（∠DAC+∠EAC）+∠BAC=60°+120°=180°，
∴∠ABM=∠DAC，
在△ABM和∠CAD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠ABM=∠DAC}\\{BM=AD}\end{array}\right.$，
∴△ABM≌△CAD，
∴AM=CD，
∴CD=2AF．

（3）解：结论：BC=$\sqrt{3}$DF+3AF．
理由：如图3中，作AN⊥BC于N，DH⊥AC于H．

由（2）可知，△ABM≌△CAD，
∴∠BAM=∠C=30°，
∴∠CAF=∠BAC-∠BAM=120°-30°=90°，
∵CD=2DH，CD=2AF，
∴FA=DH，∵FA∥DH，
∴四边形AFDH是平行四边形，∵∠FAH=90°，
∴四边形AFDH是矩形，
∴DF=AH，
∵CH=$\sqrt{3}$DH，
∴AC=DF+$\sqrt{3}$DH=DF+$\sqrt{3}$AF，
在Rt△ACN中，∵∠ANC=90°，∠C=30°，
∴BC=2CN=2•AC•cos30°=2•（DF+$\sqrt{3}$AF）•$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴BC=$\sqrt{3}$DF+3AF．

点评 本题考查三角形综合题．全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定，矩形的判定和性质、锐角三角函数等知识，解题的关键是灵活应用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形，属于中考压轴题．