Question

18、设有编号为1、2、3…100的100盏电灯，各有接线开关控制着，开始时，它们都是关闭状态，现有100个学生，第1个学生进来时，凡号码是1的倍数的开关拉了一下，接着第二个学生进来，由号码是2的倍数的开关拉一下，第n个（n≤100）学生进来，凡号码是n的倍数的开关拉一下，如此下去，最后一个学生进来，把编号能被100整除的电灯上的开关拉了一下，这样做过之后，请问哪些灯还亮着？

Answer 1

分析：在1到100这些灯中，很容易发现第1个被拉了1下，第二个被拉了2下，第三个被拉了2下…
这些灯的编号数字有几个公约数，它就被拉了几下
很容易发现，非平方数一定有偶数个公约数，平方数一定有奇数个公约数
只有被拉了奇数下的灯才亮着，所以1～100中平方数有1，4，9，16，25，36，49，64，81，100，共10个平方数，所以亮着的灯有10个

解答：解：首先，电灯编号有几个正约数，它的开关就会被拉几次，由于一开始电灯是关的，所以只有哪些被拉过奇数次的灯才是亮的，因为只有平方数才有奇数个约数，所以哪些编号为1、2²、3²、4²、5²、6²、7²、8²、9²、10²共10盏灯是亮的．

点评：1、灯的亮暗与它的亮暗变化的次数有关．即如果它的亮暗变化的次数是奇数，那么它是亮的．
2、亮暗的变化次数又与它的编号的约数的个数有关．
只有平方数的约数是奇数个在1～100中平方数有1，4，9，16，25，36，49，64，81，100，共10个平方数，所以亮着的灯有10个