如图.已知点A与点B(2.1).在抛物线C1:y=-$\frac{3}{2}$x2+bx上.过点A作AC∥y轴交OB于点C.且tan∠OAC=$\frac{1}{2}$．(1)求b的值及点C的坐标,(2)将抛物线C1沿y轴上下平移.平移后的抛物线C2交直线AB与点E($\frac{7}{3}$.$\frac{2}{3}$)交y轴于点F.点D(2.m)为平移后的抛物线C2上一点.点P为直线EF上一点.� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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20．如图，已知点A与点B（2，1），在抛物线C₁：y=-$\frac{3}{2}$x²+bx上，过点A作AC∥y轴交OB于点C，且tan∠OAC=$\frac{1}{2}$．
（1）求b的值及点C的坐标；
（2）将抛物线C₁沿y轴上下平移，平移后的抛物线C₂交直线AB与点E（$\frac{7}{3}$，$\frac{2}{3}$）交y轴于点F，点D（2，m）为平移后的抛物线C₂上一点，点P为直线EF上一点，如果△ACO∽△PDF，求点P坐标；
（3）将抛物线C₁与△ACO同时平移点A，C，O平移后分别记为A′，C′，O′，若点A′恰好落在线段AB上，△A′，C′，O′与△AOB重叠部分的面积是$\frac{3}{16}$，求平移后的抛物线C₃的表达式．

分析（1）首先求出b，设点A坐标（m，2m），代入抛物线解析式，即可解决问题．
（2）根据点E坐标，首先求出平移后的抛物线的解析式，由△ACO∽△PDF，推出$\frac{PF}{OA}$=$\frac{DF}{OC}$，列出方程即可解决问题．
（3）如图3中，设平移后的△A′O′C′与△OAB的重叠部分是△A′MN，由△OAC∽△NA′M，得到$\frac{{S}_{△A′MN}}{{S}_{△AOC}}$=（$\frac{A′M}{AC}$）²，由此可以推出A′M是△OAB中位线，求出点A′的坐标，根据平移规律求出平移后的抛物线的顶点坐标即可解决问题，

解答解：（1）把点B代入抛物线解析式得到1=-6+2b，
∴b=$\frac{7}{2}$，
∵tan∠OAC=$\frac{1}{2}$，
∴可以假设点A坐标（m，2m），代入抛物线解析式y=-$\frac{3}{2}$x²+$\frac{7}{2}$x，
得到2m=-$\frac{3}{2}{m}^{2}$+$\frac{7}{2}m$，解得m=，1或0（舍弃），
∵直线BC解析式为y=$\frac{1}{2}$x，
∴点C坐标（1，$\frac{1}{2}$）．

（2）如图1中，设平移后的抛物线解析式为y=-$\frac{3}{2}$x²+$\frac{7}{2}$x+b，

把点E代入得到，$\frac{2}{3}$=-$\frac{3}{2}$×$\frac{49}{9}$+$\frac{49}{6}$+b，
∴b=$\frac{2}{3}$，
∴平移后的抛物线解析式y=-$\frac{3}{2}$x²+$\frac{7}{2}$x+$\frac{2}{3}$，
∴点D坐标（2，$\frac{5}{2}$），点F坐标（0，$\frac{2}{3}$），
∴tan∠DFE=$\frac{\frac{5}{3}-\frac{2}{3}}{2}$=$\frac{1}{2}$，
∵tan∠OAC=$\frac{1}{2}$，
∴∠DFE=∠OAC，
∵△ACO∽△PDF，
∴$\frac{PF}{OA}$=$\frac{DF}{OC}$，
∴$\frac{DF}{\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{5}}{\frac{\sqrt{5}}{2}}$，
∴DF=2$\sqrt{5}$，
∴点P坐标（2$\sqrt{5}$，$\frac{2}{3}$）．

（3）如图3中，设平移后的△A′O′C′与△OAB的重叠部分是△A′MN，

∵AC=2-$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{2}$，
∴S_△AOC=$\frac{1}{2}$$•1•\frac{3}{2}$=$\frac{3}{4}$，
由△OAC∽△NA′M，
∴$\frac{{S}_{△A′MN}}{{S}_{△AOC}}$=（$\frac{A′M}{AC}$）²，
∴$\frac{1}{4}$=（$\frac{\frac{3}{2}}{A′M}$）²，
∴A′M=$\frac{3}{4}$，
∴A′M=$\frac{1}{2}$AC，∵A′M∥AC，
∴A′M是△ACB的中位线，
∴点A′坐标（$\frac{3}{2}$，$\frac{3}{2}$），
∵抛物线y=-$\frac{3}{2}$x²+$\frac{7}{2}$x，的顶点坐标（$\frac{7}{6}$，$\frac{49}{24}$），
∵点A（1，2）向下平移$\frac{1}{2}$单位，再向右平移$\frac{1}{2}$得到A′（$\frac{3}{2}$，$\frac{3}{2}$），
∴平移后的抛物线顶点坐标（$\frac{5}{3}$，$\frac{37}{24}$），
∴平移后的抛物线C₃的表达式y=-$\frac{3}{2}$（x-$\frac{5}{3}$）²+$\frac{37}{24}$，
即y=-$\frac{3}{2}$x²+5x-$\frac{21}{8}$．

点评本题考查二次函数综合题、待定系数法、相似三角形的判定和性质，平移等知识，解题的关键是灵活应用待定系数法确定好像解析式，学会利用相似三角形的性质解决问题，属于中考压轴题．

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