Question

11．在?ABCD中，AB=6，BC=8，∠ABC=60°，AC、BC交于点O，过点O作任意l交AD于点E，交BC于点F（除端点外），则四边形ABFE周长的最小值为14+3$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 如图作AM⊥BC于M．由△AOE≌△COF，可知AE=CF，推出四边形ABFE的周长=AB+BF+EF+AE=AB+BF+CF+EF=AB+BC+EF，由于AB=6，BC=8，推出EF的值最小时，四边形ABFE的周长最小，当EF⊥AD时，EF的值最小，此时EF=AM=3$\sqrt{3}$．

解答 解：如图作AM⊥BC于M．

在Rt△ABM中，∵∠AMB=90°，AB=6，∠ABM=60°，
∴AM=AB•sin60°=3$\sqrt{3}$，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，OA=OC，
∴∠AEO=∠CFO，∵∠AOE=∠COF，
∴△AOE≌△COF，
∴AE=CF，
∴四边形ABFE的周长=AB+BF+EF+AE=AB+BF+CF+EF=AB+BC+EF，
∵AB=6，BC=8，
∴EF的值最小时，四边形ABFE的周长最小，
∵EF⊥AD时，EF的值最小，此时EF=AM=3$\sqrt{3}$，
∴四边形ABFE的周长的最小值为14+3$\sqrt{3}$．
故答案为14+3$\sqrt{3}$．

点评 本题考查轴对称-最短问题，平行四边形的性质、锐角三角函数、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．