Question

10．设A₁，A₂，A₃，A₄是数轴上的四个不同点，若|A₁A₃|=λ|A₁A₂|，|A₁A₄|=η|A₁A₂|，且$\frac{1}{λ}$+$\frac{1}{η}$=2，则称A₃，A₄调和分割A₁，A₂．已知平面上的点C，D调和分割点A，B，则（　　）

• A． 点C可能是线段AB的中点
• B． 点D一定不是线段AB的中点
• C． 点C，D可能同时在线段AB上
• D． 点C，D可能同时在线段AB的延长线上

Answer 1

分析 由题意可设A（0，0）、B（1，0）、C（c，0）、D（d，0），结合条件$\frac{1}{c}+\frac{1}{d}=2$，根据题意考查方程$\frac{1}{c}+\frac{1}{d}=2$的解的情况，用排除法选出正确的答案即可．

解答 解：由已知不妨设A（0，0）、B（1，0）、C（c，0）、D（d，0），
则（c，0）=λ（1，0），（d，0）=μ（1，0），
∴λ=c，μ=d；
代入$\frac{1}{λ}$+$\frac{1}{η}$=2得：$\frac{1}{c}+\frac{1}{d}=2$（1），
若C是线段AB的中点，则c=$\frac{1}{2}$，代入（1），d不存在，故C不可能是线段AB的中点，A错误；
同理D不可能是线段AB的中点，故B正确；
若C，D同时在线段AB上，则0≤c≤1，0≤d≤1，代入（1）得c=d=1，此时C和D点重合，与条件矛盾，故C错误．
若C，D同时在线段AB的延长线上时，则λ＞1．μ＞1，
∴$\frac{1}{λ}+\frac{1}{μ}＜2$与$\frac{1}{λ}$+$\frac{1}{η}$=2矛盾，
∴C、D不可能同时在线段AB的延长线上，D错误．
故选：B．

点评 本题为新定义问题，考查信息的处理能力．正确理解新定义的含义是解决此题的关键．