Question

在折纸这种传统手工艺术中，蕴含许多数学思想，我们可以通过折纸得到一些特殊图形．把一张正方形纸片按照图①～④的过程折叠后展开．

①              ②                 ③                ④
（1）猜想四边形ABCD是什么四边形；
（2）请证明你所得到的数学猜想．

Answer 1

解：（1）四边形ABCD是菱形。
（2）证明：∵△AMG沿AG折叠，∴∠MAD=∠DAC=∠MAC。
同理可得： ∠CAB=∠NAB=∠CAN， ∠DCA=∠MCD=∠ACM，∠ACB=∠NCB=∠CAN。
∵四边形AMCN是正方形，∴∠MAN=∠MCN。
∴AC平分∠MAN，AC平分∠MCN 。∴∠DAC=∠BAC=∠DCA=∠BCA。
∴AD ∥BC，AB ∥DC。∴四边形ABCD为平行四边形。
∵∠DAC=∠DCA，∴AD=CD（等角对等边）。∴四边形ABCD为菱形。

试题分析：根据折叠对称和正方形的性质，先根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形的判定证明四边形ABCD为平行四边形，再由一组邻边相等的平行四边形是菱形的判定证明四边形ABCD为菱形。