Question

1．如图，已知⊙O的半径OA的长为2，点B是⊙O上的动点，以AB为半径的⊙A与线段OB相交于点C，AC的延长线与⊙O相交于点D．设线段AB的长为x，线段OC的长为y．
（1）求y关于x的函数解析式，并写出定义域；
（2）当四边形ABDO是梯形时，求线段OC的长．

Answer 1

分析 （1）由△ABC∽△OAB，推出$\frac{BC}{AB}$=$\frac{AB}{OA}$，可得$\frac{BC}{x}$=$\frac{x}{2}$，推出BC=$\frac{1}{2}$x²，由OC=OB-BC，可得y关于x的函数解析式y=2-$\frac{1}{2}$x²；
（2）分两种情形讨论①当OD∥A B时，②当BD∥OA时，分别想办法构建方程解决问题；

解答 解：（1）在⊙O与⊙A中，
∵OA=OB，AB=AC，
∴∠ACB=∠ABC=∠OAB，
∴△ABC∽△OAB，
∴$\frac{BC}{AB}$=$\frac{AB}{OA}$，
∴$\frac{BC}{x}$=$\frac{x}{2}$，
∴BC=$\frac{1}{2}$x²，
∵OC=OB-BC，
∴y关于x的函数解析式y=2-$\frac{1}{2}$x²，
定义域为0＜x＜2．
（2）①当OD∥A B时，
∴$\frac{BC}{CO}$=$\frac{AB}{OD}$，
∴$\frac{\frac{1}{2}{x}^{2}}{2-\frac{1}{2}{x}^{2}}$=$\frac{x}{2}$，
整理得x²+2x-4=0，
∴x=-1$±\sqrt{5}$（负值舍去），
∴AB=$\sqrt{5}-1$，这时AB≠OD，符合题意．
∴OC=2-$\frac{1}{2}$x²=2-$\frac{1}{2}$（$\sqrt{5}$-1）²=$\sqrt{5}$-1．

②当BD∥OA时，设∠ODA=α，
∵BD∥OA，OA=OD，
∴∠BDA=∠OAD=∠ODA=α，
又∵OB=OD，∴∠BOA=∠OBD=∠ODB=2α，
∵AB=AC，OA=OB，
∴∠OAB=∠ABC=∠ACB=∠COA+∠CAO=3α，
∵∠AOB+∠OAB+∠OBA=180°，
∴2α+3α+3α=180°，
∴α=22.5°，∠BOA=45°，
∴∠ODB=∠OBD=45°，∠BOD=90°，
∴BD=2$\sqrt{2}$，
∵BD∥OA，
∴$\frac{BC}{CO}$=$\frac{BD}{OA}$，
∴$\frac{2-y}{y}$=$\frac{2\sqrt{2}}{2}$，
∴y=2$\sqrt{2}$-2．OC=2$\sqrt{2}$-2，
由于BD≠OA，OC=2$\sqrt{2}$-2符合题意．
∴当四边形ABDO是梯形时，线段OC的长为$\sqrt{5}$-1或2$\sqrt{2}$-2．

点评 本题考查圆综合题、梯形的性质和定义、平行线分线段成比例定理、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活应用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，注意不能漏解，属于中考压轴题．