Question

3．如图1，在矩形ABCD中，AB=4，BC=5，点E在AD上，ED=3，动点P从点B出发沿BC方向以每秒3个单位的速度向C运动，过点P作PF∥CE，与边BA交于点F，过点F作FG∥BC，与CE交于点G，当点F与点A重合时，点P停止运动，设点P运动的时间为t秒．
（1）用含t的代数式分别表示线段BF和PF的长度，则有BF=4t，PF=5t；
（2）如图2，作D关于CE的对称点D′，当FG恰好过点D′时，求t的值；
（3）点P在运动过程中，是否存在三角形FPG为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的t值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由△PBF∽△EDC，得$\frac{BF}{CD}$=$\frac{PF}{EC}$=$\frac{PB}{ED}$，由此即可解决问题．
（2）如图2中，连接ED′，DD′交EC于点H，由△EDH∽△ECD，得$\frac{ED}{EC}$=$\frac{DH}{CD}$=$\frac{EH}{ED}$，求出EH，DH，根据PF=CG，列出方程即可解决问题．
（3）是三种情形①当PF=FG时，②当PF=PG时，③当FG=PG时，分别构建方程即可解决问题．

解答 解：（1）如图1中，

∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD=4，BC=AD=5，AD∥BC，
∠B=∠D=90°，
∵DE=3，CD=4，
∴EC=$\sqrt{D{E}^{2}+C{D}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
∵PF∥CE，
∴∠BPF=∠BCE=∠DEC，
∴△PBF∽△EDC，
∴$\frac{BF}{CD}$=$\frac{PF}{EC}$=$\frac{PB}{ED}$，
∴$\frac{BF}{4}$=$\frac{PF}{5}$=$\frac{3t}{3}$，
∴BF=4t，PF=5t，
故答案为4t，5t．

（2）如图2中，连接ED′，DD′交EC于点H，则ED=ED′=3，

∵∠DEH=∠DEH，∠EDC=∠DHE，
∴△EDH∽△ECD，
∴$\frac{ED}{EC}$=$\frac{DH}{CD}$=$\frac{EH}{ED}$，
∴$\frac{3}{5}$=$\frac{DH}{4}$=$\frac{EH}{3}$，
∴EH=$\frac{9}{5}$，DH=$\frac{12}{5}$，
∴D′H=DH=$\frac{12}{5}$，GH=EH=$\frac{9}{5}$，
∵PF=CG，
∴5t=5-$\frac{18}{5}$，
∴t=$\frac{7}{25}$，

（3）存在．由题意PF=5t，FG=5-3t，
①当PF=FG时，5t=5-3t，解得t=$\frac{5}{8}$，
②当PF=PG时，FG=2BP，得5-3t=6t，解得t=$\frac{5}{9}$，
③当FG=PG时，则PC=PG=5-3t，如图3中，过点P作PM⊥CG于M，

由△PCM∽△FPB得$\frac{PC}{PF}$=$\frac{CM}{BP}$，
∴$\frac{5-3t}{5t}$=$\frac{\frac{5}{2}t}{3t}$，解得t=$\frac{30}{43}$，
综上所述，当t的值为$\frac{5}{8}$秒或$\frac{5}{9}$秒或$\frac{30}{43}$秒时，△FPG是等腰三角形．

点评 本题考查四边形综合题、相似三角形的判定和性质、菱形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用方程的思想思考问题，学会分类讨论的思想解决问题，属于中考压轴题．