Question

2．如图，正方形ABCD中，E为AB边上一点，过点D作DF⊥DE，与BC延长线交于点F．连接EF，与CD边交于点G，与对角线BD交于点H．
（1）若正方形边长为1，BF=BD，求AE的长；
（2）若∠ADE=2∠BFE，求证：FH=HE+HD．

Answer 1

分析 （1）根据正方形的性质和勾股定理得出BF=BD=$\sqrt{2}$，由DF⊥DE，易证得△ADE≌△CDF，即可求得BE的长；
（2）首先在FE上截取一段FI，使得FI=EH，由△ADE≌△CDF，易证得△DEH≌△DFI，即可得DH=DI，又由∠ADE=2∠BFE，易证得△DHI为等边三角形，即可得DH=HI，继而可得FH=HE+HD．

解答 （1）解：∵四边形ABCD正方形，
∴∠BCD=90°，BC=CD=1，∴BF=BD=$\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{2}$，
∵DF⊥DE，
∴∠ADE+∠EDC=90°=∠EDC+∠CDF，
∴∠ADE=∠CDF，
在△ADE和△CDF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠ADE=∠CDF}&{\;}\\{AD=DC}&{\;}\\{∠A=∠DCF=90°}&{\;}\end{array}\right.$，
∵∴△ADE≌△CDF（ASA），
∴AE=CF=BF-BC=$\sqrt{2}$-1，
∴BE=AB-AE=1-（$\sqrt{2}$-1）=2-$\sqrt{2}$；
（2）证明：在FE上截取一段FI，使得FI=EH，连接DI，如图所示：
∵△ADE≌△CDF，
∴DE=DF，
∴△DEF为等腰直角三角形，
∴∠DEF=∠DFE=45°=∠DBC，
∵∠DHE=∠BHF，
∴∠EDH=∠BFH（三角形的内角和定理），
在△DEH和△DFI中，$\left\{\begin{array}{l}{DE=DF}&{\;}\\{∠DEH=∠DFI}&{\;}\\{EH=FI}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△DEH≌△DFI（SAS），
∴DH=DI，
又∵∠HDE=∠BFE，∠ADE=2∠BFE，
∴∠HDE=∠BFE=$\frac{1}{2}$∠ADE，
∵∠HDE+∠ADE=45°，
∴∠HDE=15°，
∴∠DHI=∠DEH+∠HDE=60°，
即△DHI为等边三角形，
∴DH=HI，
∴FH=FI+HI=HE+HD．

点评 此题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质以及等边三角形的判定与性质．此题综合性较强，难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．