Question

如图，AB是⊙O的直径，过A作⊙O的切线，在切线上截取AC=AB，连接OC交⊙O于D，连接BD并延长交AC于E，⊙F是△ADE的外接圆，F在AE上．
求证：（1）CD是⊙F的切线；（2）CD=AE．

Answer 1

分析：（1）连接DF，证DF⊥OC即可．
（2）可运用相似三角形和线段间的比例关系进行求解．

解答：证明：（1）连接DF，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA．
又∵FA=FD，
∴∠FAD=∠FDA．
∴∠BAC=∠FDO．
又∵AC为⊙O的切线，
∴∠BAC=90°．
∴∠FDO=90°．
即：CD⊥DF．
∴CD是⊙F的切线．

（2）∵DF⊥CD，
∴Rt△CDF∽Rt△CAO．
∴

DF

CD

=

OA

AC

．
又∵AC=AB=2OA，
∴

DF

CD

=

OA

2OA

=

1

2

，CD=2DF．
∵AE=2DF，
∴CD=AE．

点评：本题主要考查了切线的性质与判断，相似三角形的判断和性质等知识点．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心和这点（即为半径），再证垂直即可．