Question

19．如图，已知直线y=-x+5交双曲线y=$\frac{k}{x}$（x＞0）于A、B两点，交y轴于C点，AO的延长线交双曲线y=$\frac{k}{x}$（x＜0）于D点，且S_△BCD=15，则k=6．

Answer 1

分析 延长CB交x轴于点E，作OF⊥CE于F．由直线AB的解析式为y=-x+5，求出E（5，0），C（0，5），得出△COE是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质得到CE=5$\sqrt{2}$，OF=$\frac{5\sqrt{2}}{2}$．根据反比例函数的对称性，得出D到BC的距离=2OF=5$\sqrt{2}$．再根据S_△BCD=15，求出BC=3$\sqrt{2}$．设B点坐标为（x，-x+5），则BC²=18，即x²+（-x+5-5）²=18，解方程求出x的值，那么k=x（-x+5）．

解答 解：延长CB交x轴于点E，作OF⊥CE于F．
∵直线AB的解析式为y=-x+5，
∴E（5，0），C（0，5），
∴CE=5$\sqrt{2}$，OF=$\frac{5\sqrt{2}}{2}$．
∵反比例函数图象是关于原点O的中心对称图形，
∴D到BC的距离=2OF=5$\sqrt{2}$．
∵S_△BCD=15，
∴$\frac{1}{2}$BC•5$\sqrt{2}$=15，
∴BC=3$\sqrt{2}$．
设B点坐标为（x，-x+5），则BC²=18，
即x²+（-x+5-5）²=18，
解得x=3（负值舍去），
∴k=x（-x+5）=6．
故答案为6．

点评 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，等腰直角三角形的性质，反比例函数的性质，三角形的面积，求出△BCD中BC边上的高是解题的关键．