Question

如图，△ABC中，∠B=45°，O为AC上一个动点，过O作∠POQ=135°，且∠POQ与AB交于P，与BC交于Q
（1）若

AB

BC

=1，

AO

CO

=1，则

OP

OQ

=

 

．（如图1）
（2）若

AB

BC

=

1

3

，

AO

CO

=

1

2

，求

OP

OQ

的值，写出求解过程．（如图2）
（3）若

OP

OQ

=

3

5

，

AB

BC

=

1

2

，则

AO

CO

=

 

．（如图3）

Answer 1

分析：（1）根据四点共圆的性质以及圆周角定理求出即可；
（2）过O作OM⊥BA的延长线于M，O作ON⊥BC的于N，连BO，先证△OMP∽△ONQ，再根据相似三角形的性质与相关三角形的面积比的关系求出

OP

OQ

的值；
（3）与（2）互逆．

解答：解：（1）∵∠B=45°，∠POQ=135°，
∴P，B，Q，O四点共圆，
∵

AB

BC

=1，

AO

CO

=1，
∴∠PBO=∠OBC，
∴PO=QO，
∴

OP

OQ

=1；

（2）过O作OM⊥BA的延长线于M，O，作ON⊥BC的于N，连BO，
先证△OMP∽△ONQ，
得

OP

OQ

=

OM

ON

，
又

SAOB

SCOB

=

AO

CO

=

1

2

，
即可得

OP

OQ

=

3

2

；

（3）过O作OM⊥BA的延长线于M，O作ON⊥BC的于N，连BO，
先证△OMP∽△ONQ，
得

OP

OQ

=

OM

ON

，
∴

SAOB

SCOB

=

3

10

，
∴

AO

CO

=

3

10

．

点评：本题结合三角形的面积计算考查了相似三角形的判定和性质，其中（2）与（3）之间互为逆运算．