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    （2006•河北）图1至图7的正方形霓虹灯广告牌ABCD都是20×20的等距网格（每个小方格的边长均为1个单位长），其对称中心为点O．
    如图1，有一个边长为6个单位长的正方形EFGH的对称中心也是点O，它每秒1个单位长的速度由起始位置向外扩大（即点O不动，正方形EFGH经过一秒由6×6扩大为8×8；再经过一秒，由8×8扩大为10×10；…），直到充满正方形ABCD，再以同样的速度逐步缩小到起始时的大小，然后一直不断地以同样速度再扩大、再缩小．
    另有一个边长为6个单位长的正方形MNPQ从如图1所示的位置开始，以每秒1个单位长的速度，沿正方形ABCD的内侧边缘按A?B?C?D?A移动（即正方形MNPQ从点P与点A重合位置开始，先向左平移，当点Q与点B重合时，再向上平移，当点M与点C重合时，再向右平移，当点N与点D重合时，再向下平移，到达起始位置后仍继续按上述方式移动）．
    正方形EFGH和正方形MNPQ从如图1的位置同时开始运动，设运动时间为x秒，它们的重叠部分面积为y个平方单位．
    （1）请你在图2和图3中分别画出x为2秒、18秒时，正方形EFGH和正方形MNPQ的位置及重叠部分（重叠部分用阴影表示），并分别写出重叠部分的面积；
    （2）①如图4，当1≤x≤3.5时，求y与x的函数关系式；
    ②如图5，当3.5≤x≤7时，求y与x的函数关系式；
    ③如图6，当7≤x≤10.5时，求y与x的函数关系式；
    ④如图7，当10.5≤x≤13时，求y与x的函数关系式．
    （3）对于正方形MNPQ在正方形ABCD各边上移动一周的过程，请你根据重叠部分面积y的变化情况，指出y取得最大值和最小值时，相对应的x的取值情况，并指出最大值和最小值分别是多少．（说明：问题（3）是额外加分题，加分幅度为1～4分）
    【答案】分析：（1）当x=2时，Q离AD的距离为6+2=8，而G离AD的距离为7-2=5，因此重合部分的长为3．同理可求得重合部分的宽为1，因此y=3．
    当x=18时，正方形MNPQ走完AB需14秒，因此x=18时，正方形MNPQ在BC边上运动了4秒，而正方形EHFG扩张到最大需7秒再缩小到原来的大小需7秒，因此x=18时，正方形EHFG重复第二次运动，且第二次运动过程中运动了4秒，因此MN离AB的距离为6+4=10，OP离AB的距离为4，因此重合部分的长为6，同理可求得重合部分的宽为3，y=3×6=18．
    （2）①当1≤x≤3.5时，是正方形EHGF第一次向外扩张的过程，此时MK=x+6，SK=7-x，因此MS=2x-1．同理可求得SG的长，由此可得出重合部分的面积y与x的函数关系式．
    ②当3.5≤x≤7时，正方形EHGF第一次向内收缩，此时重合部分的长不变为MN的长即6，而EQ=x，NP=6，因此重合部分的宽为6-x，由此可得出y与x的函数关系式．
    ③当7≤x≤10.5时，正方形EHGF第二次向外扩张，此时重合部分的宽仍为MN的长即6，MQ=6，TQ=x-7，因此MT=13-x，由此可得出y与x的函数关系式．
    ④当10.5≤x≤13时，正方形EHGF第二次向内收缩，解法参照①．
    （3）根据②中x不同区间的y的函数关系式，可根据各函数的性质和自变量的取值范围求出y的最大或最小值．
    解答：解：（1）相应的图形如图1，2．
    当x=2时，y=3；
    当x=18时，y=18．


    （2）①当1≤x≤3.5时，如图3，
    延长MN交AD于K，
    设MN与HG交于S，MQ与FG交于T，则MK=6+x，SK=TQ=7-x，从而MS=MK-SK=2x-1，MT=MQ-TQ=6-（7-x）=x-1．
    ∴y=MT•MS=（x-1）（2x-1）=2x2-3x+1．
    ②当3.5≤x≤7时，如图4，
    设FG与MQ交于T，则
    TQ=7-x，
    ∴MT=MQ-TQ=6-（7-x）=x-1．
    ∴y=MN•MT=6（x-1）=6x-6．
    ③当7≤x≤10.5时，如图5，
    设FG与MQ交于T，则
    TQ=x-7，
    ∴MT=MQ-TQ=6-（x-7）=13-x．
    ∴y=MN•MT=6（13-x）=78-6x．
    ④当10.5≤x≤13时，如图6，
    设MN与EF交于S，NP交FG于R，延长NM交BC于K，则MK=14-x，SK=RP=x-7，
    ∴SM=SK-MK=2x-21，从而SN=MN-SM=27-2x，NR=NP-RP=13-x．
    ∴y=NR•SN=（13-x）（27-2x）=2x2-53x+351．

    （3）对于正方形MNPQ，
    ①在AB边上移动时，当0≤x≤1及13≤x≤14时，y取得最小值0；
    当x=7时，y取得最大值36．
    ②在BC边上移动时，当14≤x≤15及27≤x≤28时，y取得最小值0；
    当x=21时，y取得最大值36．
    ③在CD边上移动时，当28≤x≤29及41≤x≤42时，y取得最小值0；
    当x=35时，y取得最大值36．
    ④在DA边上移动时，当42≤x≤43及55≤x≤56时，y取得最小值0；
    当x=49时，y取得最大值36．
    点评：本题为压轴题有一定难度，但难题也分层次性设计，只要平时多加积累解题经验，探解题规律，一定会有很大收获．
    命题立意：考查解决大综合题的数学能力．
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    （2006•河北）探索：
    在如图1至图3中，△ABC的面积为a．

    （1）如图1，延长△ABC的边BC到点D，使CD=BC，连接DA．若△ACD的面积为S1，则S1=
    a
    a
    （用含a的代数式表示）；
    （2）如图2，延长△ABC的边BC到点D，延长边CA到点E，使CD=BC，AE=CA，连接DE．若△DEC的面积为S2，则S2=
    2a
    2a
    （用含a的代数式表示）；
    （3）在图2的基础上延长AB到点F，使BF=AB，连接FD，FE，得到△DEF（如图3）．若阴影部分的面积为S3，则S3=
    6a
    6a
    （用含a的代数式表示）．
    发现：
    像上面那样，将△ABC各边均顺次延长一倍，连接所得端点，得到△DEF（如图3），此时，我们称△ABC向外扩展了一次．可以发现，扩展一次后得到的△DEF的面积是原来△ABC面积的
    7
    7
    倍．
    应用：
    去年在面积为10m2的△ABC空地上栽种了某种花卉．今年准备扩大种植规模，把△ABC向外进行两次扩展，第一次由△ABC扩展成△DEF，第二次由△DEF扩展成△MGH（如图4）．则这两次扩展的区域（即阴影部分）面积共为
    480
    480
    m2．

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    科目：初中数学 来源： 题型：022

    (2006·河北)如图所示是由边长为1m的正方形地砖铺设的地面示意图，小明沿图中所示的折线从A→B→C所走的路程为________m．(结果保留根号)

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    科目：初中数学 来源：2006年全国中考数学试题汇编《二次函数》（09）（解析版） 题型：解答题

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    如图1，有一个边长为6个单位长的正方形EFGH的对称中心也是点O，它每秒1个单位长的速度由起始位置向外扩大（即点O不动，正方形EFGH经过一秒由6×6扩大为8×8；再经过一秒，由8×8扩大为10×10；…），直到充满正方形ABCD，再以同样的速度逐步缩小到起始时的大小，然后一直不断地以同样速度再扩大、再缩小．
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    正方形EFGH和正方形MNPQ从如图1的位置同时开始运动，设运动时间为x秒，它们的重叠部分面积为y个平方单位．
    （1）请你在图2和图3中分别画出x为2秒、18秒时，正方形EFGH和正方形MNPQ的位置及重叠部分（重叠部分用阴影表示），并分别写出重叠部分的面积；
    （2）①如图4，当1≤x≤3.5时，求y与x的函数关系式；
    ②如图5，当3.5≤x≤7时，求y与x的函数关系式；
    ③如图6，当7≤x≤10.5时，求y与x的函数关系式；
    ④如图7，当10.5≤x≤13时，求y与x的函数关系式．
    （3）对于正方形MNPQ在正方形ABCD各边上移动一周的过程，请你根据重叠部分面积y的变化情况，指出y取得最大值和最小值时，相对应的x的取值情况，并指出最大值和最小值分别是多少．（说明：问题（3）是额外加分题，加分幅度为1～4分）

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