Question

如图，P是边长为1的正方形ABCD对角线AC上一动点（P与A、C不重合），点E在射线BC上，且PE=PB．设AP=x，△PBE的面积为y．则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是（　　）

A．.

B．.

C．.

D．.

Answer 1

分析：过点P作PF⊥BC于F，若要求△PBE的面积，则需要求出BE，PF的值，利用已知条件和正方形的性质以及勾股定理可求出BE，PF的值．再利用三角形的面积公式得到y与x的关系式，此时还要考虑到自变量x的取值范围和y的取值范围．

解答：解：过点P作PF⊥BC于F，
∵PE=PB，
∴BF=EF，
∵正方形ABCD的边长是1，
∴AC=

12+12

=

2

，
∵AP=x，∴PC=

2

-x，
∴PF=FC=

2

2

（

2

-x）=1-

2

2

x，
∴BF=FE=1-FC=

2

2

x，
∴S_△PBE=

1

2

BE•PF=

2

2

x（1-

2

2

x）=-

1

2

x²+

2

2

，
即y=-

1

2

x²+

2

2

（0＜x＜

2

），
∴y是x的二次函数（0＜x＜

2

），
故选D．

点评：本题考查了动点问题的函数图象，和正方形的性质；等于直角三角形的性质；三角形的面积公式．对于此类问题来说是典型的数形结合，图象应用信息广泛，通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力．用图象解决问题时，要理清图象的含义即会识图．