Question

如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°,∠ABC的平分线BD交AC于点D，DE⊥BD交AB于点E，设⊙O是△BDE的外接圆.

（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）求证：.

Answer 1

26:(1)说明∠ODC=90度∵OD是⊙O的半径，∴AC是⊙O的切线． （2）说明△EDB相似于△DCB即可。

试题分析：（1）证明：连接OD，∵DE⊥DB，⊙O是△BDE的外接圆，
∴BE是直径，点O是BE的中点，
∵∠C=90°，∴∠DBC+∠BDC=90°，又BD为∠ABC的平分线，∴∠ABD=∠DBC，
∵OB=OD，∴∠ABD=∠ODB，则∠ODB+∠BDC=90°即∠ODC=90°
又∵OD是⊙O的半径，∴AC是⊙O的切线．
（2）依题意知，Rt△EDB和Rt△DCB中，∠EDB=∠C=90°。因为DB平分∠ABC，所以∠ABD=∠DBC。
所以Rt△EDB∽Rt△DCB。则所以可得
点评：本题难度中等，主要考查学生对圆与相似三角形性质知识点的掌握，为中考常考题型，注意数形结合应用。