Question

5．如图，直线y=$\frac{2}{3}$x+4与x轴、y轴分别交于点A和点B，点C、D分别为线段AB、OB的中点，点P为OA上一动点，当PC+PD最小时，点P的坐标为（　　）

• A． （-3，0）
• B． （-6，0）
• C． （-$\frac{3}{2}$，0）
• D． （-$\frac{5}{2}$，0）

Answer 1

分析 （方法一）根据一次函数解析式求出点A、B的坐标，再由中点坐标公式求出点C、D的坐标，根据对称的性质找出点D′的坐标，结合点C、D′的坐标求出直线CD′的解析式，令y=0即可求出x的值，从而得出点P的坐标．
（方法二）根据一次函数解析式求出点A、B的坐标，再由中点坐标公式求出点C、D的坐标，根据对称的性质找出点D′的坐标，根据三角形中位线定理即可得出点P为线段CD′的中点，由此即可得出点P的坐标．

解答 解：（方法一）作点D关于x轴的对称点D′，连接CD′交x轴于点P，此时PC+PD值最小，如图所示．

令y=$\frac{2}{3}$x+4中x=0，则y=4，
∴点B的坐标为（0，4）；
令y=$\frac{2}{3}$x+4中y=0，则$\frac{2}{3}$x+4=0，解得：x=-6，
∴点A的坐标为（-6，0）．
∵点C、D分别为线段AB、OB的中点，
∴点C（-3，2），点D（0，2）．
∵点D′和点D关于x轴对称，
∴点D′的坐标为（0，-2）．
设直线CD′的解析式为y=kx+b，
∵直线CD′过点C（-3，2），D′（0，-2），
∴有$\left\{\begin{array}{l}{2=-3k+b}\\{-2=b}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{4}{3}}\\{b=-2}\end{array}\right.$，
∴直线CD′的解析式为y=-$\frac{4}{3}$x-2．
令y=-$\frac{4}{3}$x-2中y=0，则0=-$\frac{4}{3}$x-2，解得：x=-$\frac{3}{2}$，
∴点P的坐标为（-$\frac{3}{2}$，0）．
故选C．
（方法二）连接CD，作点D关于x轴的对称点D′，连接CD′交x轴于点P，此时PC+PD值最小，如图所示．
令y=$\frac{2}{3}$x+4中x=0，则y=4，
∴点B的坐标为（0，4）；
令y=$\frac{2}{3}$x+4中y=0，则$\frac{2}{3}$x+4=0，解得：x=-6，
∴点A的坐标为（-6，0）．
∵点C、D分别为线段AB、OB的中点，
∴点C（-3，2），点D（0，2），CD∥x轴，
∵点D′和点D关于x轴对称，
∴点D′的坐标为（0，-2），点O为线段DD′的中点．
又∵OP∥CD，
∴点P为线段CD′的中点，
∴点P的坐标为（-$\frac{3}{2}$，0）．
故选C．

点评 本题考查了待定系数法求函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征以及轴对称中最短路径问题，解题的关键是找出点P的位置．