精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
我们知道,三角形的三条中线一定会交于一点,这一点就叫做三角形的重心.重心有很多美妙的性质,如关于线段比.面积比就有一些“漂亮”结论,利用这些性质可以解决三角形中的若干问题.请你利用重心的概念完成如下问题:
(1)若O是△ABC的重心(如图1),连结AO并延长交BC于D,证明:
(2)若AD是△ABC的一条中线(如图2),O是AD上一点,且满足,试判断O是△ABC的重心吗?如果是,请证明;如果不是,请说明理由;
(3)若O是△ABC的重心,过O的一条直线分别与AB、AC相交于G、H(均不与△ABC的顶点重合)(如图3),S四边形BCHG,S△AGH分别表示四边形BCHG和△AGH的面积,试探究的最大值.

【答案】分析:(1)如答图1,作出中位线DE,证明△AOC∽△DOE,可以证明结论;
(2)如答图2,作△ABC的中线CE,与AD交于点Q,则点Q为△ABC的重心.由(1)可知,=,而已知,故点O与点Q重合,即点O为△ABC的重心;
(3)如答图3,利用图形的面积关系,以及相似线段间的比例关系,求出的表达式,这是一个二次函数,利用二次函数的性质求出其最大值.
解答:(1)证明:如答图1所示,连接CO并延长,交AB于点E.

∵点O是△ABC的重心,∴CE是中线,点E是AB的中点.
∴DE是中位线,
∴DE∥AC,且DE=AC.
∵DE∥AC,
∴△AOC∽△DOE,
=2,
∵AD=AO+OD,


(2)答:点O是△ABC的重心.
证明:如答图2,作△ABC的中线CE,与AD交于点Q,则点Q为△ABC的重心.

由(1)可知,=

∴点Q与点O重合(是同一个点),
∴点O是△ABC的重心.

(3)解:如答图3所示,连接DG.

设S△GOD=S,由(1)知,即OA=2OD,
∴S△AOG=2S,S△AGD=S△GOD+S△AGO=3S.
为简便起见,不妨设AG=1,BG=x,则S△BGD=3xS.
∴S△ABD=S△AGD+S△BGD=3S+3xS=(3x+3)S,
∴S△ABC=2S△ABD=(6x+6)S.
设OH=k•OG,由S△AGO=2S,得S△AOH=2kS,
∴S△AGH=S△AGO+S△AOH=(2k+2)S.
∴S四边形BCHG=S△ABC-S△AGH=(6x+6)S-(2k+2)S=(6x-2k+4)S.
==  ①
如答图3,过点O作OF∥BC交AC于点F,过点G作GE∥BC交AC于点E,则OF∥GE.
∵OF∥BC,

∴OF=CD=BC;
∵GE∥BC,

∴GE=
=

∵OF∥GE,

=
∴k=,代入①式得:
===-x2+x+1=-(x-2+
∴当x=时,有最大值,最大值为
点评:本题是几何综合题,以三角形的重心为背景,考查了重心的概念、性质以及应用,考查了相似三角形、中位线、图形面积、二次函数最值等知识点.试题的难点在于第(3)问,如何求出的关系式是解题的关键;另外,第(3)问尚有多种不同的解法,同学们可以深入探究.
练习册系列答案
相关习题

科目:初中数学 来源: 题型:

(2013•绵阳)我们知道,三角形的三条中线一定会交于一点,这一点就叫做三角形的重心.重心有很多美妙的性质,如关于线段比.面积比就有一些“漂亮”结论,利用这些性质可以解决三角形中的若干问题.请你利用重心的概念完成如下问题:
(1)若O是△ABC的重心(如图1),连结AO并延长交BC于D,证明:
AO
AD
=
2
3

(2)若AD是△ABC的一条中线(如图2),O是AD上一点,且满足
AO
AD
=
2
3
,试判断O是△ABC的重心吗?如果是,请证明;如果不是,请说明理由;
(3)若O是△ABC的重心,过O的一条直线分别与AB、AC相交于G、H(均不与△ABC的顶点重合)(如图3),S四边形BCHG,S△AGH分别表示四边形BCHG和△AGH的面积,试探究
S四边形BCHG
S△AGH
的最大值.

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源:2013年初中毕业升学考试(四川绵阳卷)数学(解析版) 题型:解答题

(2013年四川绵阳14分)我们知道,三角形的三条中线一定会交于一点,这一点就叫做三角形的重心.重心有很多美妙的性质,如关于线段比.面积比就有一些“漂亮”结论,利用这些性质可以解决三角形中的若干问题.请你利用重心的概念完成如下问题:

(1)若O是△ABC的重心(如图1),连结AO并延长交BC于D,证明:

(2)若AD是△ABC的一条中线(如图2),O是AD上一点,且满足,试判断O是△ABC的重心吗?如果是,请证明;如果不是,请说明理由;

(3)若O是△ABC的重心,过O的一条直线分别与AB、AC相交于G、H(均不与△ABC的顶点重合)(如图3),S四边形BCHG,SAGH分别表示四边形BCHG和△AGH的面积,试探究的最大值.

 

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:解答题

我们知道,三角形的三条中线一定会交于一点,这一点就叫做三角形的重心.重心有很多美妙的性质,如关于线段比.面积比就有一些“漂亮”结论,利用这些性质可以解决三角形中的若干问题.请你利用重心的概念完成如下问题:
(1)若O是△ABC的重心(如图1),连结AO并延长交BC于D,证明:数学公式
(2)若AD是△ABC的一条中线(如图2),O是AD上一点,且满足数学公式,试判断O是△ABC的重心吗?如果是,请证明;如果不是,请说明理由;
(3)若O是△ABC的重心,过O的一条直线分别与AB、AC相交于G、H(均不与△ABC的顶点重合)(如图3),S四边形BCHG,S△AGH分别表示四边形BCHG和△AGH的面积,试探究数学公式的最大值.

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:

我们知道,三角形的三条中线一定会交于一点,这一点就叫做三角形的重心。重心有很多美妙的性质,如在关线段比.面积比就有一些“漂亮”结论,利用这些性质可以解决三角形中的若干问题。请你利用重心的概念完成如下问题:

(1)若O是△ABC的重心(如图1),连结AO并延长交BCD,证明:

(2)若AD是△ABC的一条中线(如图2),OAD上一点,且满足,试判断O是△ABC的重心吗?如果是,请证明;如果不是,请说明理由;

(3)若O是△ABC的重心,过O的一条直线分别与ABAC相交于GH(均不与△ABC的顶点重合)(如图3),S四边形BCHG.S△AGH分别表示四边形BCHG和△AGH的面积,试探究的最大值。

 


查看答案和解析>>

同步练习册答案