Question

已知抛物线y=ax²-5ax+c经过点A（3，0），B（4，1）两点，且与y轴交于点C．

（1）求a，c及C点坐标；
（2）如图①，连接AB，在抛物线上是否存在点P使△PAB的外接圆圆心在△PAB的边上？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图②，连接AC，E为AC上任意一点（不与A，C重合），△AEO的外接圆交直线AB于点F，求△EOF面积的最小值及此时点E的坐标．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）根据A（3，0），B（4，1）两点利用待定系数法求二次函数解析式；
（2）从当△PAB是以A为直角顶点的直角三角形，且∠PAB=90°与当△PAB是以B为直角顶点的直角三角形，且∠PBA=90°，分别求出符合要求的答案；
（3）根据当OE∥AB时，△FEO面积最小，得出OM=ME，求出即可．

解答：解：（1）∵抛物线y=ax²-5ax+c经过点A（3，0），B（4，1）两点，
∴

9a-15a+c=0 16a-20a+c=1

解得：

a= 1 2 c=3

∴C（0，3）．

（2）存在，
①如图①，若△PAB的外接圆圆心在△PAB的边PB上时，∠A=90°，
过点P作PM⊥x轴于M，过B作BN⊥x轴于N，
∴∠PAM=∠MPA，
∴△APM∽△BAN，
∵AN=BN=1，
∴PM=AM，
设P（m，

1

2

m²-

5

2

m+3），
由题意得：

1

2

m²-

5

2

m+3=3-m，
化简得：m²-3m=0，
解得：m=0，或m=3（舍去），
∴P（0，3）．

②若△PAB的外接圆圆心在△PAB的边PA上时，∠B=90°，
过P作PH⊥NB于H，
∴△BPH∽△BAN，
∴PH=BH，
由题意得：

1

2

m²-

5

2

m+3-1=4-m，
化简得：m²-3m-4=0，
解得：m=-1，或m=4（舍去），
∴P（-1，6）．
③若△PAB的外接圆圆心在△PAB的边AB上时，以AB为直径的圆与抛物线无异于A、B的交点．

解答：（3）如图②：作EM⊥AO于M，
∵直线AC的解析式为：y=-x+3，
∴tan∠OAC=1，
∴∠OAC=45°，
∴∠OAC=∠OAF=45°，
∴AC⊥AF，
∵S_△FEO=

1

2

OE×OF，
OE最小时S_△FEO最小，
∵OE⊥AC时OE最小，
∵AC⊥AF
∴OE∥AF
∴∠EOM=45°，
∴MO=EM，
∵E在直线CA上，
∴E点坐标为（x，-x+3），
∴x=-x+3，
解得：x=

3

2

，
∴E点坐标为（

3

2

，

3

2

）．

点评：此题主要考查了二次函数的综合应用以及待定系数法求函数解析式，二次函数的综合应用是初中阶段的重点题型特别注意利用数形结合是这部分考查的重点也是难点同学们应重点掌握．