Question

在平面直角坐标系中，已知三点A（0，a），B（b，0），C（b，c），其中a，b，c满足关系式|a-2|+（b-3）²=0，c=2b-a；
（1）求a，b，c的值．
（2）如果在第二象限内有一点P（m，1），请用含m的式子表示四边形ABOP的面积；若四边形ABOP的面积与△ABC的面积相等，请求出点P的坐标；
（3）若B，A两点分别在x轴，y轴的正半轴上运动，设∠BAO的邻补角的平分线和∠ABO的邻补角的平分线相交于第一象限内一点Q，那么，点A，B在运动的过程中，∠AQB的大小是否会发生变化？若不发生变化，请求出其值，若发生变化，请说明理由．
（4）是否存在一点N（n，-1），使AN+NC距离最短？如果有，请求出该点坐标，如果没有，请说明理由．

Answer 1

解：（1）∵|a-2|+（b-3）²=0，
∴a-2=0，b-3=0，
解得a=2，b=3．
将a=2，b=3代入c=2b-a，得
c=2×3-2=4．
故a=2，b=3，c=4；

（2）如图．如果在第二象限内有一点P（m，1），
那么四边形ABOP的面积=△AOP的面积+△AOB的面积
=×2×（-m）+×3×2
=3-m；
∵△ABC的面积=×4×3=6，
∴3-m=6，解得m=-3，
∴点P的坐标（-3，1）；

（3）如图．∠AQB的大小不会发生变化，理由如下：
∵∠BAO的邻补角的平分线和∠ABO的邻补角的平分线相交于第一象限内一点Q，
∴∠1=∠DAB，∠2=∠ABE，
∴∠AQB=180°-（∠1+∠2）
=180°-（∠DAB+∠ABE）
=180°-（90°+∠ABO+90°+∠BAO）
=180°-（90°+90°+90°）
=45°．
∴∠AQB的大小不会发生变化；

（4）存在一点N（，-1），使AN+NC距离最短．理由如下：
如图，作出点A（0，2）关于直线y=-1的对称点A′（0，-4），连接A′C，交直线y=-1于点N，则AN+NC距离最短．
设直线A′C的解析式为y=kx+t，
将点A′（0，-4），C（3，4）代入，
得，
解得，
所以直线A′C的解析式为y=x-4，
当y=-1时，x-4=-1，
解得x=，
即点N的坐标为（，-1）．
故存在一点N（，-1），使AN+NC距离最短．
分析：（1）先根据非负数的性质求得a、b的值，再代入c=2b-a即可求出c的值；
（2）由于点P（m，1）在第二象限，所以四边形ABOP的面积=△AOP的面积+△AOB的面积；先根据三角形的面积公式求出△ABC的面积，再由四边形ABOP的面积与△ABC的面积相等列出关于m的方程，解方程求出m的值即可；
（3）根据角平分线的定义、三角形内角和定理及外角的性质求出∠AQB=45°，则∠AQB的大小不会发生变化；
（4）先作出点A关于直线y=-1的对称点A′（0，-4），连接A′C，交直线y=-1于点N，则AN+NC距离最短，再运用待定系数法求出直线A′C的解析式，将y=-1代入，求出的x的值即为N得到横坐标．
点评：本题考查了非负数的性质，三角形的面积，三角形内角和定理，三角形外角的性质，轴对称-最短路线问题，运用待定系数法求函数的解析式，综合性较强，难度适中．根据非负数的性质求出a、b的值及运用轴对称的性质作出点N的位置是解题的关键．