Question

【题目】如图，AB为⊙O的直径，OD⊥弦BC于点D，交⊙O于点E，AE与BC交于点F，点H为OD延长线上一点，且∠OHB=∠AEC.

（1）求证：BH是⊙O的切线；

（2）求证：CE2=EF·EA；

（3）若⊙O的半径为5，sin∠C=，求BF的长.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）

【解析】

（1）由圆周角定理和已知条件证出∠H=∠ABC，再证出∠ABC+∠DBH=90°，即∠OBH=90°，即可得出BH是⊙O的切线；
（2）连接AC，由垂径定理得出=,得出∠CAE=∠ECB，再由公共角∠CEA=∠HEC，证明△CEF∽△AEC，得出对应边成比例即可得出结论；
（3）连接BE，由圆周角定理得出∠AEB=90°，由三角函数求出BE，再根据勾股定理求出EA，得出BE=CE=6，由（2）的结论求出EF，然后根据勾股定理求出BF即可．

(1)证明：∵∠OHB =∠AEC，∠AEC=∠ABC，

∴∠OHB=∠ABC，

∵OD⊥BC，

∴

∴

∴∠ABC+∠DBH=90°，

即

∴BH⊥OB，

∴BH是⊙O的切线；

(2)证明：连接AC,如图1所示：

∵OD⊥BC，

∴=,

∴∠CAE=∠ECB，

∵∠CEA=∠FEC，

∴△CEF∽△AEC，

∴

∴CE2=EF·EA；

(3)连接BE,如图2所示：

∵AB是O的直径，

∴

∵⊙O的半径为5,sin∠BAE

∴AB=10,BE=ABsin∠BAE

∴

∵=,

∴BE=CE=6，

∵CE2=EF·EA；

∴

在Rt△BEF中,