【题目】如图,已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线,且抛物线经过B(1,0),C(0,3)两点,与x轴交于点A.
(1)求抛物线的解析式;
(2)如图1,在抛物线的对称轴直线上找一点M,使点M到点B的距离与到点C的距离之和最小,求出点M的坐标;
(3)如图2,点Q为直线AC上方抛物线上一点,若∠CBQ=45°,请求出点Q坐标.
【答案】(1);(2)当点到点的距离与到点的距离之和最小时的坐标为;(3)点.
【解析】
(1)根据对称轴方程可得,把B、C坐标代入列方程组求出a、b、c的值即可得答案;
(2)根据二次函数的对称性可得A点坐标,设直线AC与对称轴的交点为M,可得MB=MA,即可得出MB+MC=MC+MA=AC,为MB+MC的最小值,根据A、C坐标,利用待定系数法可求出直线AC的解析式,把x=-1代入求出y值,即可得点M的坐标.
(3)设直线BQ交y轴于点H,过点作于点,利用勾股定理可求出BC的长,根据∠CBQ=45°可得HM=BM,利用∠OCB的正切函数可得CM=3HM,即可求出CM、HM的长,利用勾股定理可求出CH的长,即可得H点坐标,利用待定系数法可得直线BH的解析式,联立直线BQ与抛物线的解析式求出交点坐标即可得点Q坐标.
(1)∵抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线,
∴,
∵抛物线经过B(1,0),C(0,3)两点,
∴,
解得:,
∴抛物线解析式为.
(2)设直线AC的解析式为y=mx+n,
∵抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线,B(0,0),
∴点A坐标为(-3,0),
∵C(0,3),
∴,
解得:,
∴直线解析式为,
设直线与对称轴的交点为,
∵点A与点B关于对称轴x=-1对称,
∴MA=MB,
∴MB+MC=MA+MC=AC,
∴此时的值最小,
当时,y=-1+3=2,
∴当点到点的距离与到点的距离之和最小时的坐标为.
(3)如图,设直线交轴于点,过点作于点,
∵B(1,0),C(0,3),
∴OB=1,OC=3,BC==,
∴,
∵∠CBQ=45°,
∴△BHM是等腰直角三角形,
∴HM=BM,
∵tan∠OCB=,
∴CM=3HM,
∴BC=MB+CM=4HM=,
解得:,
∴CM=,
∴CH==,
∴OH=OC-CH=3-=,
∴,
设直线BH的解析式为:y=kx+b,
∴,
解得:,
∴的表达式为:,
联立直线BH与抛物线解析式得,
解得:(舍去)或x=,
当x=时,y==,
∴点Q坐标为(,).
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【题目】抛物线y=ax2+bx+c(a≠0,a、b、c为常数)上部分点的横坐标x,纵坐标y的对应值如下表:
x | …… | ﹣3 | ﹣2 | ﹣1 | 0 | 1 | 2 | …… |
y | …… | 4 | 4 | m | 0 | …… |
则下列结论中:①抛物线的对称轴为直线x=﹣1;②m=;③当﹣4<x<2时,y<0;④方程ax2+bx+c﹣4=0的两根分别是x1=﹣2,x2=0,其中正确的个数有( )
A.1个B.2个C.3个D.4个
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【题目】如图,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于A,B两点,与y轴交于C点,且对称轴为x=1,点B坐标为(﹣1,0),则下面的四个结论,其中正确的个数为( )
①2a+b=0②4a﹣2b+c<0③ac>0④当y>0时,﹣1<x<4
A.1个B.2个C.3个D.4个
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【题目】为增强中学生体质,篮球运球已列为铜陵市体育中考选考项目,某校学生不仅练习运球,还练习了投篮,下表是一名同学在罚球线上投篮的试验结果,根据表中数据,回答问题.
投篮次数(n) | 50 | 100 | 150 | 200 | 250 | 300 | 500 |
投中次数(m) | 28 | 60 | 78 | 104 | 124 | 153 | 252 |
(1)估计这名同学投篮一次,投中的概率约是多少?(精确到0.1)
(2)根据此概率,估计这名同学投篮622次,投中的次数约是多少?
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【题目】“2019大洋湾盐城马拉松”的赛事共有三项:A,“全程马拉松”、B,“半程马拉松”、C.“迷你健身跑”,小明和小刚参与了该项赛事的志愿者服务工作,组委会随机将志愿者分配到三个项目组.
(1)小明被分配到“迷你健身跑”项目组的概率为 ;
(2)求小明和小刚被分配到不同项目组的概率.
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【题目】如图,某数学兴趣小组为测量一棵古树BH和教学楼的高,先在点处用高1.5米的测角仪测得古树顶端点的仰角为,此时教学楼顶端点恰好在视线上,再向前走7米到达点处,又测得教学楼顶端点的仰角为,点、、点在同一水平线上.
(1)计算古树的高度;
(2)计算教学楼的高度.(结果精确到0.1米,参考数据:,).
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【题目】某商场计划购进A,B两种型号的手机,已知每部A型号手机的进价比每部B型号手机进价多500元,若商场用50000元共购进A型号手机10部,B型号手机20部,求A、B两种型号的手机每部进价各是多少元?
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【题目】菲尔兹奖是国际上享有崇高声誉的一个数学奖项,每4年评选一次,颁给有卓越贡献的年轻数学家,被视为数学界的诺贝尔奖.下面的数据是从1936年至2014年45岁以下菲尔兹奖得住获奖时的年龄(岁):39 35 33 39 27 33 35 31 31 37 32 38 36 31 39 32 38 37 34 34 38 32 35 36 33 32 35 36 37 39 38 40 38 37 39 38 34 33 40 36 36 37 31 38 38 37 35 40 39 37
请根据以上数据,解答以下问题:
(1)小彬按“组距为5”列出了如下的频数分布表,每组数据含最小值不含最大值,请将表中空缺的部分补充完整,并补全频数分布直方图:
(2)在(1)的基础上,小彬又画出了如图所示的扇形统计图,图中B组所对的圆心角的度数为 ;
(3)根据(1)中的频数分布直方图试描述这50位菲尔兹奖得主获奖时的年龄的分布特征.
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