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已知:如图,过平行四边形ABCD的对角线交点O作互相垂直的两条直线EG、FH与平行四边形ABCD各边分别相交于点E、F、G、H.求证:四边形EFGH是菱形.

【答案】分析:根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形.由已知条件证明OE=OG,同理OF=OH,所以四边形EFGH是平行四边形,又因为EG⊥FH,所以四边形EFGH是菱形.
解答:证明:在平行四边形ABCD中,OD=OB,OA=OC,
AD∥CB,(1分)
∴∠OBG=∠ODE.(2分)
又∵∠BOG=∠DOE,
∴△OBG≌△ODE.(4分)
∴OE=OG.(5分)
同理OF=OH.(6分)
∴四边形EFGH是平行四边形.(7分)
又∵EG⊥FH,
∴平行四边形EFGH是菱形.(8分)
点评:此题主要考查菱形的判定,综合利用平行四边形的判定.
练习册系列答案
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科目:初中数学 来源: 题型:

13、(Ⅰ)已知:如图,平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,EF过点O与AB、CD分别相交于点E、F.
求证:BE=DF.
(Ⅱ)请写出使如图所示的四边形ABCD为平行四边形的条件(例如,填:AB∥CD且AD∥BC.在不添加辅助线的情况下,写出除上述条件外的另外四组条件,将答案直接写在下面的横线上.)
(1):
∠DAB=∠DCB且∠ADC=∠ABC

(2):
AB=CD且AD=BC

(3):
OA=OC且OD=OB

(4):
AB∥CD且∠DAB=∠DCB

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科目:初中数学 来源: 题型:

(1)已知:如图1,在△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于点D,点E在AC上,CE=BC,过E点作AC的垂线,交CD的延长线于点F.求证:AB=FC.
(2)如图2,已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(-2,3)、B(-6,0)、C(-1,0).
(1)请直接写出点A关于y轴对称的点的坐标;
(2)将△ABC绕坐标原点O逆时针旋转90°.画出图形,直接写出点B的对应点的坐标;
(3)请直接写出:以A、B、C为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标.

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科目:初中数学 来源: 题型:

已知:如图,四边形ABCD四条边上的中点分别为E、F、G、H,顺次连接EF、FG、GH、HE,得到四边形EFGH(即四边形ABCD的中点四边形).
(1)四边形EFGH的形状是
平行四边形
平行四边形
,证明你的结论;
(2)当四边形ABCD的对角线满足
互相垂直
互相垂直
条件时,四边形EFGH是矩形;
(3)你学过的哪种特殊四边形的中点四边形是矩形?
菱形
菱形

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科目:初中数学 来源: 题型:

已知:如图,在平面直角坐标系xOy中,直线AB与x轴、y轴的交点分别为A、B,OB=3,,将∠OBA对折,使点O的对应点H恰好落在直线AB上,折痕交x轴于点C,

(1)求过A、B、C三点的抛物线解析式;

(2)若抛物线的顶点为D,在直线BC上是否存在点P,使得四边形ODAP为平行四

边形?若存在,求出点P的坐标;若不存在,说明理由;

(3)若点Q是抛物线上一个动点,使得以A、B、Q为顶点并且以AB为直角边的直角三角形,直角写出Q点坐标。

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科目:初中数学 来源:2005年山东省滨州市中考数学试卷(解析版) 题型:解答题

(2005•滨州)(Ⅰ)已知:如图,平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,EF过点O与AB、CD分别相交于点E、F.
求证:BE=DF.
(Ⅱ)请写出使如图所示的四边形ABCD为平行四边形的条件(例如,填:AB∥CD且AD∥BC.在不添加辅助线的情况下,写出除上述条件外的另外四组条件,将答案直接写在下面的横线上.)
(1):______;
(2):______;
(3):______;
(4):______.

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