Question

德国著名数学家高斯（Gauss）在上小学时就已求出计算公式1+2+3+…+n=

n(n+1)

2

．
这个公式可以用一种叫做“交叉消项求和法”的方法推导如下：
在“平方公式”（a+b）²=a²+2ab+b²中，
取b=1，得2a+1=（a+1）²-a²．…（*）
在（*）中分别取a=1，2，3，…，n，再左右分别相加，得2（1+2+3+…+n）+n×1=（2²-1²）+（3²-2²）+（4²-3²）+…+[n²-（n-1）²]+[（n+1）²-n²]=（n+1）²-1=n²+2n．
即1+2+3+…+n=

n(n+1)

2

．现在请你利用“立方公式”（a+b）³=a³+3a²b+3ab²+b³来推导1²+2²+3²+…+n²的计算公式，要求写出推算过程．注：可以利用已推导的公式1+2+3+…+n=

n(n+1)

2

．

Answer 1

分析：先在立方公式中，取b=1，那么（a+1）³-a³=3a²+3a+1，再让a=1，2，3，…，n-1，n得2³-1=3×1²+3×1+1，3³-2³=3×2²+3×2+1，4³-3³=3×3²+3×3+1，…，（n+1）³-n³=3×n²+3n+1，再把这些式子相加可得（n+1）³-1=3（1²+2²+3²+…+n²）+3（1+2+3+…+n）+n，从而可证1²+2²+3²+…+n²=

(n+1)3-1-3(1+2+3+…+n)-n

3

=

n(n+1)(2n+1)

6

．

解答：解：在立方公式中，取b=1得（a+1）³-a³=3a²+3a+1，
依次取a=1，2，3，…，n-1，n得
2³-1=3×1²+3×1+1，3³-2³=3×2²+3×2+1，4³-3³=3×3²+3×3+1，…（n+1）³-n³=3×n²+3n+1，
将以上n个式子相加，得（n+1）³-1=3（1²+2²+3²+…+n²）+3（1+2+3+…+n）+n，
∴1²+2²+3²+…+n²=

(n+1)3-1-3(1+2+3+…+n)-n

3

=

n(n+1)(2n+1)

6

．

点评：本题考查了立方公式．在证明过程中可仿照平方公式的证明方法，注意先对立方公式进行变形．