Question

已知直线l过点P（2，1），分别与x轴、y轴交于点A、B，且PA=PB．
（1）求直线l的函数解析式；
（2）设⊙Q是Rt△AOB的内切圆，分别与OA、OB、AB相切于点D、E、F，求证：AD、BE的长是方程x²-2

5

x+4=0的两个根．

Answer 1

分析：（1）根据点A（4，0）与P（2，1），利用待定系数法求出一次函数解析式即可；
（2）利用直角三角形内切圆的半径求法，得出AD，BE的长度，再利用根与系数关系得出即可．

解答：解：（1）如图，建立坐标系，依据题意构造Rt△ABC，过点P作PH⊥OA，垂足为H，
∵PA=PB，
∴OH=HA，
∴A（4，0），
设直线l的函数解析式为：y=kx+b，
∵点A（4，0）与P（2，1）在直线l上，
∴

4k+b=0 2k+b=1

，
解得：

k=- 1 2 b=2

；
∴直线l的函数解析式为：y=-

1

2

x+2；

（2）由（1）知，在Rt△AOB中，AO=4，BO=2，AB=2

5

，
∵⊙Q是Rt△AOB的内切圆，
∴AD=AF，BE=BF，OD=OE，
∴AD+BE=AF+BF=AB=2

5

，
∴在直角三角形中，内切圆半径r与三边长的关系有：
OD=

AO+BO-AB

2

，
=

4+2-2 5

2

，
=3-

5

，
则AD=AO-OD=4-（3-

5

）=1+

5

，
BE=BO-OE=2-（3-

5

）=

5

-1，
∴AD•BE=（

5

+1）（

5

-1）=4，
由根与系数的关系得出AD、BE的长是方程x²-2

5

x+4=0的两个根．

点评：此题主要考查了待定系数法求一次函数解析式以及直角三角形内切圆半径求法和根与系数关系，根据已知得出AD，BE的长度是解题关键．