Question

如图，∠MON＝90°，AP平分∠MAB，BP平分∠ABN．

（1）求∠P的度数；
（2）若∠MON＝80°，其余条件不变，求∠P的度数；
（3）经过（1）、（2）的计算，猜想并证明∠MON与∠P的关系．

Answer 1

（1）45°（2）50°（3）∠MON+2∠P=180°

试题分析：（1）利用外角性质，求得∠BAM+∠ABN=270°；由AP平分∠MAB，BP平分∠ABN可得∠BAP+∠ABP的度数，再根据三角形内角和定理求解即可；
（2）与问题（1）的思路相同；
（3）利用外角性质，求得∠BAM+∠ABN=∠MON+∠ABO+∠MON+∠BAO=（∠MON+∠ABO+∠BAO）+∠MON=180°+∠MON；由AP平分∠MAB，BP平分∠ABN．求∠BAP+∠ABP，最后根据三角形内角和定理即可求得所求的度数.
（1）∵∠BAM=∠AOB+∠ABO，∠ABN=∠AOB+∠BAO
∴∠BAM+∠ABN="∠AOB+∠ABO+∠AOB+∠BAO=180°+" 90°=270°
∵AP平分∠MAB，BP平分∠ABN
∴∠BAP=∠BAM，∠ABP=∠ABN
∴∠BAP+∠ABP=（∠BAM+∠ABN）=135°
在△ABP中，∠BAP+∠ABP+∠P=180°
∴∠P="180°-" 135°=45°；
（2）∵∠BAM=∠AOB+∠ABO，∠ABN=∠AOB+∠BAO
∴∠BAM+∠ABN="∠AOB+∠ABO+∠AOB+∠BAO=180°+" 80°=260°
∵AP平分∠MAB，BP平分∠ABN
∴∠BAP=∠BAM，∠ABP=∠ABN
∴∠BAP+∠ABP=（∠BAM+∠ABN）=130°
在△ABP中，∠BAP+∠ABP+∠P=180°
∴∠P="180°-" 130°=50°；
（3）∠MON+2∠P=180°
∵∠BAM=∠MON+∠ABO，∠ABN=∠MON+∠BAO
∴∠BAM+∠ABN="∠MON+∠ABO+∠MON+∠BAO" ="180°+∠MON"
∵AP平分∠MAB，BP平分∠ABN
∴∠BAP=∠BAM，∠ABP=∠ABN
∴∠BAP+∠ABP=（∠BAM+∠ABN）=（180°+∠MON）
在△ABP中，∠BAP+∠ABP+∠P=180°，（180°+∠MON）+∠P=180°  
∴∠MON+2∠P=180°．
点评：解题的关键是熟练掌握三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.