Question

6．如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD=1，BC=3，∠ABC的平分线交腰CD于点E（不与点C、D重合）．
（1）当AB=2时，求BE的长；
（2）设CE=x，DE=y，求y关于x的函数关系式，并写出定义域；
（3）联结AE，若△ABE是直角三角形，求腰AB的长．

Answer 1

分析 （1）延长BA、CD交于点F，构造等腰△BCF，由于AD∥BC，所以△ADF∽△BCF，利用对应边的比相等即可求出AF=1，所以可知△ADF是等边三角形，从而可知△FBE是直角三角形，利用勾股定理即可求出BE；
（2）延长AD，BE交于点F，利用角平分线构造等腰三角形△ABF，然后证明△DEF∽△CBE，利用对应边的比相等即可求出y与x的关系式；
（3）若△ABE是直角三角形，由于题目没有说明哪一个是直角，所以要分三种情况讨论：①当∠BAE=90°；②当∠AEB=90°；③当∠ABE=90°．

解答 解：（1）如图1，延长BA、CD交于点F，
∵四边形ABCD是等腰梯形，
∴∠ABC=∠DCB，
∵AD∥BC，
∴∠FAD=∠FDA，
∴△FAD是等腰三角形，
∵AD∥BC，
∴△ADF∽△BCF，
∴$\frac{AD}{BC}$=$\frac{AF}{BC}$
∵AB=2，AD=1，BC=3，
∴AF=1，
∴△FDA是等边三角形，
∴∠FAD=60°
∵BE平分∠ABC，
∴∠FBE=30°，
∴∠FEB=90°，
∵BF=3，
∴FE=$\frac{3}{2}$
∴由勾股定理可知：BE=$\frac{3}{2}\sqrt{3}$；

（2）如图2，延长AD，BE交于点F，
∵AF∥BC，
∴∠AFB=∠FBC，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABF=∠FBC，
∴∠AFB=∠ABF，
∴AB=AF，
∵四边形ABCD是等腰梯形，
∴AB=CD=CE+ED=x+y，
∴AF=x+y，
∴DF=AF-AD=x+y-1，
∵DF∥BC，
∴△DEF∽△CBE，
∴$\frac{DF}{BC}$=$\frac{DE}{CE}$，
∴$\frac{x+y-1}{3}$=$\frac{y}{x}$，
∴y=$\frac{{x}^{2}-x}{3-x}$（1＜x＜3）；

（3）如图3，当∠BAE=90°时，
过点E作EF∥BC交AB于点F，
过点E作EG⊥BC于点G，
∴AF=DE=y，BF=CE=x，∠FEB=∠EBC，
∵BE平分∠ABC，
∴AE=EG，∠ABE=∠EBC，AB=BG
∴∠ABE=∠FEB，
∴BF=FE，
∴CE=FE，
在Rt△AEF与Rt△GEC中，
$\left\{\begin{array}{l}{FE=CE}\\{AE=EG}\end{array}\right.$，
∴Rt△AEF≌Rt△GEC（HL），
∴AF=GC=y，
∵BC=BG+GC，
∴3=x+y+y，
∵y=$\frac{{x}^{2}-x}{3-x}$，
∴解得：x=-2$±\sqrt{13}$，
∵1＜x＜3，
∴x=$\sqrt{13}$-2，
∴y=$\frac{5-\sqrt{13}}{2}$，
∴AB=x+y=$\frac{\sqrt{13}+1}{2}$，

如图4，当∠AEB=90°时，
过点E作EF∥BC交AB于点F，
∴AF=DE=y，BF=CE=x，∠FEB=∠EBC
∵BE平分∠ABC，
∴∠FBE=∠EBC，
∴∠FBE=∠FEB，
∴BF=EF=x，
∵∠FAE=90°-∠FBE
∠AEF=90°-∠FEB，
∴∠FAE=∠AEF，
∴AF=EF，
∴y=x，
∵y=$\frac{{x}^{2}-x}{3-x}$，
∴解得：x=2或x=0
∵1＜x＜3，
∴x=2，
∴AB=x+y=2x=4，

当∠ABE=90°时，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE=90°，
此情况不存在，
综上所述，当△ABE为直角三角形时，腰AB的长为$\frac{\sqrt{13}+1}{2}$或2．

点评 本题考查等腰梯形的综合问题，涉及等腰梯形的性质，梯形常用辅助线作法，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解方程等知识内容，综合程度较高，需要学生将各章内容熟练运用．