Question

【题目】如图，在正方形ABCD中，是等边三角形，AP、BP的延长线分别交边CD于点E、F，联结AC、CP、AC与BF相交于点H，下列结论中错误的是（ ）

A.AE=2DEB.C.D.

Answer 1

【答案】C

【解析】

A.利用直角三角形30度角的性质即可解决问题．
B.根据两角相等两个三角形相似即可判断．
C.通过计算证明∠DPB≠∠DPF，即可判断．
D.利用相似三角形的性质即可证明．

解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠D=∠DAB=90°，
∵△ABP是等边三角形，
∴∠PAB=∠PBA=∠APB=60°，
∴∠DAE=30°，
∴AE=2DE，故A正确;
∵AB∥CD，
∴∠CFP=∠ABP=∠APH=60°，
∵∠PHA=∠PBA+∠BAH=60°+45°=105°，
又∵BC=BP，∠PBC=30°，
∴∠BPC=∠BCP=75°，
∴∠CPF=105°，
∴∠PHA=∠CPF，又易得∠APB=∠CFP=60°，
∴△CFP∽△APH，故B正确;
∵∠CPB=60°+75°=135°≠∠DPF，
∴△PFC与△PCA不相似，故C错误;
∵∠PCH=∠PCB-∠BCH=75°-45°=30°，
∴∠PCH=∠PBC，
∵∠CPH=∠BPC，
∴△PCH∽△PBC，
∴,
∴PC2=PHPB，故D正确，
故选：C．