Question

6．如图，在直角坐标系中，已知直线y=-$\frac{1}{2}$x+4与y轴交于A点，与x轴交于B点，C点的坐标为（-2，0）．
（1）求证：直线AB⊥AC；
（2）求经过A，B，C三点的抛物线l的解析式和对称轴；
（3）在直线AB上方的抛物线l上，是否存在一点P，使直线AB平分∠PBC？
若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据自变量与函数值的对应关系，可得A、B点坐标，根据勾股定理，可得AB、AC的长，根据勾股定理的逆定理，可得答案；
（2）根据待定系数法，可得函数解析式；根据配方法，可得对称轴；
（3）根据菱形的对角线平分一组对角，可得ADBE是菱形，根据平行间的一次项的系数相等，可得BE的解析式，根据解方程组，可得答案．

解答 （1）证明：当y=0时，x=8，即B（8，0），当x=0时，y=4，即A（0，4）．
∵△AOB、△AOC是直角三角形，
∴AC²=OC²+AO²=20，AB²=OB²+AO²=80，
∵AC²+AB²=20+80=100，BC²=[8-（-2）]²，
∴AC²+AB²=BC²，
∴AC⊥AB；
（2）设抛物线的解析式为y=ax²+bx+c，
将A、B、C点坐标代入，得
$\left\{\begin{array}{l}{c=4}\\{4a-2b+c=0}\\{64a+8b+c=0}\end{array}\right.$，
解得a$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{4}}\\{b=\frac{3}{2}}\\{c=4}\end{array}\right.$，
抛物线的解析式为y=-$\frac{1}{4}$x²+$\frac{3}{2}$x+4，
y=-$\frac{1}{4}$x²+$\frac{3}{2}$x+4=-$\frac{1}{4}$（x-3）²+$\frac{9}{4}$，
抛物线的对称轴是x=3；
（3）在直线AB上方的抛物线l上，存在一点P，使直线AB平分∠PBC，理由如下：
如图ADBE是菱形，设D（x，0），BD=8-x，
由勾股定理，得
x²+4²=（8-x）²，
解得x=3，
AD的解析式为y=-$\frac{4}{3}$x+4，
BE的解析式为y=-$\frac{4}{3}$x+b，将B点坐标代入，解得b=$\frac{32}{3}$，
BE的解析式为y=-$\frac{4}{3}$x+$\frac{32}{3}$，
联立BE与抛物线，得
$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{4}{3}x+\frac{32}{3}}\\{y=-\frac{1}{4}{x}^{2}+\frac{3}{2}x+4}\end{array}\right.$，
消元化简，得
3x²-34x+80=0，
△=34²-4×3×80=169，
∴x₁=8（舍弃），x₂=$\frac{10}{3}$，
x=$\frac{10}{3}$时，y=$\frac{56}{9}$
∴当点P坐标为（$\frac{10}{3}$，$\frac{56}{9}$）时，使直线AB平分∠PBC．

点评 本题考查了二次函数综合题，利用勾股定理及逆定理是解题关键；利用待定系数法是解题关键；利用菱形的性质得出BE的解析式是解题关键．