精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
6.如图,在直角坐标系中,已知直线y=-$\frac{1}{2}$x+4与y轴交于A点,与x轴交于B点,C点的坐标为(-2,0).
(1)求证:直线AB⊥AC;
(2)求经过A,B,C三点的抛物线l的解析式和对称轴;
(3)在直线AB上方的抛物线l上,是否存在一点P,使直线AB平分∠PBC?
若存在,请求出P点的坐标;若不存在,请说明理由.

分析 (1)根据自变量与函数值的对应关系,可得A、B点坐标,根据勾股定理,可得AB、AC的长,根据勾股定理的逆定理,可得答案;
(2)根据待定系数法,可得函数解析式;根据配方法,可得对称轴;
(3)根据菱形的对角线平分一组对角,可得ADBE是菱形,根据平行间的一次项的系数相等,可得BE的解析式,根据解方程组,可得答案.

解答 (1)证明:当y=0时,x=8,即B(8,0),当x=0时,y=4,即A(0,4).
∵△AOB、△AOC是直角三角形,
∴AC2=OC2+AO2=20,AB2=OB2+AO2=80,
∵AC2+AB2=20+80=100,BC2=[8-(-2)]2
∴AC2+AB2=BC2
∴AC⊥AB;
(2)设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c,
将A、B、C点坐标代入,得
$\left\{\begin{array}{l}{c=4}\\{4a-2b+c=0}\\{64a+8b+c=0}\end{array}\right.$,
解得a$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{4}}\\{b=\frac{3}{2}}\\{c=4}\end{array}\right.$,
抛物线的解析式为y=-$\frac{1}{4}$x2+$\frac{3}{2}$x+4,
y=-$\frac{1}{4}$x2+$\frac{3}{2}$x+4=-$\frac{1}{4}$(x-3)2+$\frac{9}{4}$,
抛物线的对称轴是x=3;
(3)在直线AB上方的抛物线l上,存在一点P,使直线AB平分∠PBC,理由如下:
如图ADBE是菱形,设D(x,0),BD=8-x,
由勾股定理,得
x2+42=(8-x)2
解得x=3,
AD的解析式为y=-$\frac{4}{3}$x+4,
BE的解析式为y=-$\frac{4}{3}$x+b,将B点坐标代入,解得b=$\frac{32}{3}$,
BE的解析式为y=-$\frac{4}{3}$x+$\frac{32}{3}$,
联立BE与抛物线,得
$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{4}{3}x+\frac{32}{3}}\\{y=-\frac{1}{4}{x}^{2}+\frac{3}{2}x+4}\end{array}\right.$,
消元化简,得
3x2-34x+80=0,
△=342-4×3×80=169,
∴x1=8(舍弃),x2=$\frac{10}{3}$,
x=$\frac{10}{3}$时,y=$\frac{56}{9}$
∴当点P坐标为($\frac{10}{3}$,$\frac{56}{9}$)时,使直线AB平分∠PBC.

点评 本题考查了二次函数综合题,利用勾股定理及逆定理是解题关键;利用待定系数法是解题关键;利用菱形的性质得出BE的解析式是解题关键.

练习册系列答案
相关习题

科目:初中数学 来源: 题型:解答题

16.在△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,点D是AC上一点,连接BD,过点A作AE⊥BD于E,交BC于F.
(1)如图1,若AB=4,CD=1,求AE的长;
(2)如图2,点G时AE上一点,连接CG,若BE=AE+AG,求证:CG=$\sqrt{2}$AE;
(3)如图3,点P是AC上一点,连接FP,若AP=CD,求证:∠ADB=∠CPF.

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:选择题

17.若实数a、b满足a+b=0,且a<b,则一次函数y=ax+b的图象不可能经过(  )
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:填空题

14.分式方程$\frac{x}{x-1}=2$的解为x=2.

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:填空题

1.若△ABC的一边为4,另两边分别满足x2-5x+6=0的两根,则△ABC的周长为9.

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:解答题

11.在平面直角坐标系xOy中,A(t,0),B(t+$\sqrt{3}$,0),对于线段AB和x轴上方的点P给出如下定义:当∠APB=60°时,称点P为AB的“等角点”.
(1)若t=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$,在点C(0,$\frac{3}{2}$),D($\frac{\sqrt{3}}{2}$,1),E(-$\frac{\sqrt{3}}{2}$,$\frac{3}{2}$)中,线段AB的“等角点”是C、D;
(2)直线MN分别交x轴、y轴于点M、N,点M的坐标是(6,0),∠OMN=30°.
①线段AB的“等角点”P在直线MN上,且∠ABP=90°,求点P的坐标;
②在①的条件下,过点B作BQ⊥PA,交MN于点Q,求∠AQB的度数;
③若线段AB的所有“等角点”都在△MON内部,则t的取值范围是1-$\frac{\sqrt{3}}{2}$<t<4-$\sqrt{3}$.

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:填空题

18.如图所示,一个宽度相等的纸条按如图所示方法折叠一下,则∠1=55°.

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:填空题

15.计算:$\sqrt{2}(\sqrt{2}-\frac{1}{\sqrt{2}})$=1.

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:解答题

16.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于点A(-1,0),B(-3,0),与y轴交于点C,顶点为D,抛物线的对称轴与x轴的交点为E.
(1)求抛物线的解析式及E点的坐标;
(2)设点P是抛物线对称轴上一点,且∠BPD=∠BCA,求点P的坐标;
(3)若过点E的直线与抛物线交于点M、N,连接DM、DN,判断DM与DN的位置关系并说明理由.

查看答案和解析>>

同步练习册答案