【题目】如图,菱形中,对角线,相交于点,且,,动点,分别从点,同时出发,运动速度均为,点沿运动,到点停止,点沿运动,到点停止后继续运动,到点停止,连接,,.设的面积为(这里规定:线段是面积的几何图形),点的运动时间为.
如图,菱形中,对角线,相交于点,且,,动点,分别从点,同时出发,运动速度均为,点沿运动,到点停止,点沿运动,到点停止后继续运动,到点停止,连接,,.设的面积为(这里规定:线段是面积的几何图形),点的运动时间为.
填空:________,与之间的距离为________;
当时,求与之间的函数解析式;
直接写出在整个运动过程中,使与菱形一边平行的所有的值.
【答案】(1)5;
【解析】
(1)根据勾股定理即可求得AB,根据面积公式求得AB与CD之间的距离.
(2)当4≤x≤10时,运动过程分为三个阶段,需要分类讨论,避免漏解:
①当4≤x≤5时,如答图1-1所示,此时点Q与点O重合,点P在线段BC上;
②当5<x≤9时,如答图1-2所示,此时点Q在线段OB上,点P在线段CD上;
③当9<x≤10时,如答图1-3所示,此时点Q与点B重合,点P在线段CD上.
(3)有两种情形,需要分类讨论,分别计算:
①若PQ∥CD,如答图2-1所示;
②若PQ∥BC,如答图2-2所示.
解:(1)∵菱形ABCD中,AC=6cm,BD=8cm,
∴AC⊥BD,
∴AB===5,
设AB与CD间的距离为h,
∴△ABC的面积S=ABh,
又∵△ABC的面积S=S菱形ABCD=×ACBD=×6×8=12,
∴ABh=12,
∴h==.
(2)设∠CBD=∠CDB=θ,则易得:sinθ= ,cosθ=.
①当4≤x≤5时,如答图1-1所示,此时点Q与点O重合,点P在线段BC上.
∵PB=x,
∴PC=BC-PB=5-x.
过点P作PH⊥AC于点H,则PH=PCcosθ=(5-x).
∴y=S△APQ=QAPH=×3×(5-x)=-x+6;
②当5<x≤9时,如答图1-2所示,此时点Q在线段OB上,点P在线段CD上.
PC=x-5,PD=CD-PC=5-(x-5)=10-x.
过点P作PH⊥BD于点H,则PH=PDsinθ=(10-x).
∴y=S△APQ=S菱形ABCD-S△ABQ-S四边形BCPQ-S△APD
=S菱形ABCD-S△ABQ-(S△BCD-S△PQD)-S△APD
= ACBD-BQOA-(BDOC-QDPH)-PD×h
=×6×8-(9-x)×3-[×8×3-(x-1)(10-x)]- (10-x)×
=-x2+x-;
③当9<x≤10时,如答图1-3所示,此时点Q与点B重合,点P在线段CD上.
y=S△APQ=AB×h=×5×=12.
综上所述,当4≤x≤10时,y与x之间的函数解析式为:
y=.
(3)有两种情况:
①若PQ∥CD,如答图2-1所示.
此时BP=QD=x,则BQ=8-x.
∵PQ∥CD,
∴=,
即=,
∴x=;
②若PQ∥BC,如答图2-2所示.
此时PD=10-x,QD=x-1.
∵PQ∥BC,
∴=,
即=,
∴x=.
综上所述,满足条件的x的值为或.
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【题目】如图,已知△ABC的三个顶点分别为A(2,3)、B(3,1)、C(-2,-2).
(1)请在图中作出△ABC关于y轴对称图形△DEF(A、B、C的对应点分别是D、E、F),并直写出D、E、F的坐标.D、E、F点的坐标是:D( , ) E( , ) F( , );
(2)求四边形ABED的面积.
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【题目】如图,△ABC中,A、B两个顶点在轴的上方,点C的坐标是(1,0).以点C为位似中心,在x轴的下方作△ABC的位似图形,并把△ABC的边长放大到原来的2倍,设点B的对应点B′的横坐标是a,则点B的横坐标是( )
A. B. C. D.
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【题目】抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=﹣1,与x轴的一个交点A在点(﹣3,0)和(﹣2,0)之间,其部分图象如图,则下列结论:①4ac﹣b2<0;②2a﹣b=0;③a+b+c<0;④点M(x1,y1)、N(x2,y2)在抛物线上,若x1<x2,则y1≤y2,其中正确结论的个数是( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
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【题目】(9分)如图,在平面直角坐标系中,Rt△ABC的三个顶点分别是A(-3,2),B(0,4),C(0,2).
(1)将△ABC以点C为旋转中心旋转180°,画出旋转后对应的△A1B1C;平移△ABC,若A的对应点A2的坐标为(0,4),画出平移后对应的△A2B2C2;
(2)若将△A1B1C绕某一点旋转可以得到△A2B2C2,请直接写出旋转中心的坐标.
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【题目】我们把长与宽之比为的矩形纸片称为标准纸.不难发现,将一张标准纸如图一次又一次对开后,所得的矩形纸片都是标准纸.现有一张标准纸,,,那么把它第次对开后所得标准纸的周长是________.
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【题目】如图,PA,PB是⊙O的切线,A,B为切点,AC为⊙O的直径,弦BD⊥AC下列结论:①∠P+∠D=180°;②∠COB=∠DAB;③∠DBA=∠ABP;④∠DBO=∠ABP.其中正确的只有( )
A. ①③ B. ②④ C. ②③ D. ①④
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