解:(1)由题意直线AC与x轴的交点为A,
所以当y=0,则x=-6,
所以点A(-6,0).
同理点C(0,8),
由题意,A、B是抛物线y=ax
2+bx+8与x轴的交点,
∴-6,x
0是一元二次方程ax
2+bx+8=0的两个根,
∴-6+x
0=-
,-6x
0=
,
∴a=-
,b=-
+
.
∵A、B点关于抛物线对称,∴BC所在直线与对称轴的交点即为P
0.
设直线BC的解析式为y=mx+n,则n=8,mx
0+n=0,
∴m=-
,n=8.
∴BC的解析式为y=-
x+8.
∴当x=-
=
时,y=
+4,
∴P
0的坐标为(
,
+4);
(2)由(1)可知三角形PAC最小即为AC+BC=10
,
+
=10
,
解得x
0=10或x
0=-10(不符舍去),
则点B(10,0),
由点A,B,C三点的二次函数式为y=
=-
(x-2)
2+
.
顶点N(2,
);
(3)如图,作MN⊥BC于点N,
则△OBC∽△NCM,
所以
=
,
即h=
.
因为MH∥BC,
所以
,
解得MH=
=
,
S=
MH•h,
=
×
(8-2t)×
,
=10t-
,
因为每秒移动2个单位,
则当t=2时符合范围0<t<4,
所以当t为2时S最大为10;
(4)把S的取值代入(3)中表达式中求得t,
从而得到点M的坐标,
,即
=-
t
2+10t,
则解得t
1=
,t
2=
.
则由题意知C、E、F三点所在圆半径为4,
所以直线CN与C、F、E所在圆相切.
分析:(1)由题意A、B点关于抛物线对称,则BC所在直线与对称轴的交点即为P
0;
(2)由(1)所求可知该题周长最小即为 AC+BC的长,从而求出x
0,而解得;
(3)由△OBC∽△CMN,得到高关于t的式子,因为MH∥BC,得到三角形MHP
0三角形底边关于t的表达式,根据t的取值范围,从而求得S的最大值.
(4)把S的取值代入(3)中表达式中求得t,从而得到点M的坐标,从而证明各点.
点评:本题考查了二次函数的综合应用,知道三点求二次函数式,考查一次函数与二次函数的结合求三角形面积,知道面积求点,很好结合,是道好题.