Question

（2012•鄂州）已知：如图一，抛物线y=ax²+bx+c与x轴正半轴交于A、B两点，与y轴交于点C，直线y=x-2经过A、C两点，且AB=2．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若直线DE平行于x轴并从C点开始以每秒1个单位的速度沿y轴正方向平移，且分别交y轴、线段BC于点E，D，同时动点P从点B出发，沿BO方向以每秒2个单位速度运动，（如图2）；当点P运动到原点O时，直线DE与点P都停止运动，连DP，若点P运动时间为t秒；设s=

ED+OP

ED•OP

，当t为何值时，s有最小值，并求出最小值．
（3）在（2）的条件下，是否存在t的值，使以P、B、D为顶点的三角形与△ABC相似；若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）首先根据直线AC的解析式确定点A、C的坐标，已知AB的长，进一步能得到点B的坐标；然后由待定系数法确定抛物线的解析式．
（2）根据所给的s表达式，要解答该题就必须知道ED、OP的长；BP、CE长易知，那么由OP=OB-BP求得OP长，由∠CED的三角函数值可得到ED的长，再代入s的表达式中可得到关于s、t的函数关系式，结合函数的性质即可得到s的最小值．
（3）首先求出BP、BD的长，若以P、B、D为顶点的三角形与△ABC相似，已知的条件是公共角∠OBC，那么必须满足的条件是夹公共角的两组对应边成比例，分两种情况讨论即可．

解答：解：（1）由直线：y=x-2知：A（2，0）、C（0，-2）；
∵AB=2，∴OB=OA+AB=4，即 B（4，0）．
设抛物线的解析式为：y=a（x-2）（x-4），代入C（0，-2），得：
a（0-2）（0-4）=-2，解得 a=-

1

4

∴抛物线的解析式：y=-

1

4

（x-2）（x-4）=-

1

4

x²+

3

2

x-2．

（2）在Rt△OBC中，OB=4，OC=2，则 tan∠OCB=2；
∵CE=t，∴DE=2t；
而 OP=OB-BP=4-2t；
∴s=

ED+OP

ED•OP

=

2t+4-2t

2t•(4-2t)

=

1

-(t-1)2+1

（0＜t＜2），
∴当t=1时，s有最小值，且最小值为 1．

（3）在Rt△OBC中，OB=4，OC=2，则 BC=2

5

；
在Rt△CED中，CE=t，ED=2t，则 CD=

5

t；
∴BD=BC-CD=2

5

-

5

t；
以P、B、D为顶点的三角形与△ABC相似，已知∠OBC=∠PBD，则有两种情况：
①

BP

BC

=

BD

AB

?

2t

2 5

=

2 5 - 5 t

2

，解得 t=

10

7

；
②

BP

AB

=

BD

BC

?

2t

2

=

2 5 - 5 t

2 5

，解得 t=

2

3

；
综上，当t=

2

3

或

10

7

时，以P、B、D为顶点的三角形与△ABC相似．

点评：该题主要考查了函数解析式的确定以及相似三角形的判定和性质等重点知识；（2）题得到的函数与平常所见的二次函数有所不同，但只要把握住分式以及二次函数的性质即可正确解出答案；（3）题中需要注意的是相似三角形的对应边并没有明确，需要进行分类讨论．