Question

如图，以△ABC的BC边上一点O为圆心的圆，经过A，B两点，且与BC边交于点E，D为BE的下半圆弧的中点，连结AD交BC于F，若AC=FC．

（1）求证：AC是⊙O的切线：
（2）若BF=8，DF=，求⊙O的半径r．

Answer 1

（1）证明见解析；（2）6.

试题分析：（1）连接OA、OD，求出∠D+∠OFD=90°，推出∠CAF=∠CFA，∠OAD=∠D，求出∠OAD+∠CAF=90°，根据切线的判定推出即可；
（2）OD=r，OF=8-r，在Rt△DOF中根据勾股定理得出方程，求出即可．
试题解析: (1)证明：连结OA、OD，

∵D为下半圆BE的中点，
∴∠BOD=∠DOF=90°，
∴∠D+∠OFD=90°，
∵AC=FC，OA=OD，
∴∠CAF=∠CFA，∠OAD=∠D，
∵∠CFA=∠OFD，
∴∠OAD+∠CAF=90°，∴OA⊥AC，
∵OA为半径，∴AC是⊙O的切线；（2）解：∵⊙O半径是r，∴OD=r，OF=8﹣r，
又∵在Rt△DOF中，OD²+OF²=DF²,
∴，
解得，，，
当时，OF=（符合题意），
当时，OF=（不合题意，舍去），
∴⊙O的半径r为6.
考点: 切线的判定.