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    （2012•宁德）如图，矩形OBCD的边OD、OB分别在x轴正半轴和y轴的负半轴上，且OD=10，OB=8，将矩形的边BC绕点B逆时针旋转，使点C恰好与x轴上的点A重合
    （1）直接写出点A、B的坐标：A（
    6
    6
    ，
    0
    0
    ）、B（
    0
    0
    ，
    -8
    -8
    ）；
    （2）若抛物线y=-
    1
    3
    x2+bx+c经过A、B两点，则这条抛物线的解析式是
    y=-
    1
    3
    x2+
    10
    3
    x-8
    y=-
    1
    3
    x2+
    10
    3
    x-8
    ；
    （3）若点M是直线AB上方抛物线上的一个动点，作MN⊥x轴于点N，问是否存在点M，使△AMN与△ACD相似？若存在，求出点M的横坐标；若不存在，说明理由；
    （4）当
    7
    2
    ≤x≤7时，在抛物线上存在点P，使△ABP得面积最大，求△ABP面积的最大值．
    分析：（1）由OB长，能直接得到点B的坐标；在Rt△OAB中，已知OB、BA（即BC长）长，由勾股定理可得到OA的长，即可确定点A的坐标．
    （2）根据（1）的结论，利用待定系数法能求出抛物线的解析式．
    （3）根据OA、OB以及AD、CD的长，不难发现∠BAO=∠CAD，那么若题干提到的两个三角形若相似，必须满足夹这对相等角的两组对应边成比例，所以分两种情况，列比例式求解即可．
    （4）此题涉及的情况较多，大致分三种情况：点P在x轴下方（分左右两侧共两种情况）、点P在x轴上方；可过点P作x轴的垂线，通过规则图形间的面积和差关系得出关于△ABP的函数关系式，再由函数的性质得到△ABP的面积最大值．
    解答：解：（1）由OB=8，得：B（0，-8）．
    ∵BA由BC旋转所得，∴BA=BC=10；
    在Rt△BAO中，OB=8，BA=10，则：OA=
    		BA2-OB2
    =6，即：A（6，0）．
    ∴A（6，0）、B（0，-8）．

    （2）抛物线y=-
    1
    3
    x2+bx+c经过A、B两点，则：
    -
    1
    3
    ×36+6b+c=0
    c=-8
    ，
    解得
    b=
    10
    3
    c=-8

    故这条抛物线的解析式：y=-
    1
    3
    x2+
    10
    3
    x-8．

    （3）存在．
    设M（m，-
    1
    3
    m2+
    10
    3
    m-8），则N（m，0），MN=|-
    1
    3
    m2+
    10
    3
    m-8|，NA=6-m，又DA=4，CD=8；
    ①若点M在N上方，
    MN
    CD
    =
    NA
    DA
    ，则△AMN∽△ACD；
    ∴
    -
    1
    3
    m2+
    10
    3
    m-8
    8
    =
    6-m
    4
    ，即 m2-16m+60=0，解得 m=6或m=10．
    与点M是直线AB上方抛物线上的一个动点不符．
    ∴此时不存在点M，使△AMN与△ACD相似．
    若
    MN
    DA
    =
    NA
    CD
    ，则△AMN∽△ACD；
    则
    -
    1
    3
    m2+
    10
    3
    m-8
    4
    =
    6-m
    8
    ，
    ∴2m2-23m+66=0，
    解得：m=
    11
    2
    或m=6，
    ∴此时存在点M（
    11
    2
    ，
    1
    4
    ），使△AMN与△ACD相似
    ②若点M在点N下方，
    MN
    DA
    =
    NA
    CD
    ，则△AMN∽△ACD；
    ∴
    1
    3
    m2-
    10
    3
    m-8
    4
    =
    6-m
    8
    ，即 2m2-17m+30=0，解得 m=
    5
    2
    或m=6；
    当m=
    5
    2
    时符合条件；
    ∴此时存在点M（
    5
    2
    ，-
    7
    4
    ），使△AMN与△ACD相似．
    若
    MN
    DA
    =
    NA
    CD
    ，则△AMN∽△ACD；
    则
    1
    3
    m2-
    10
    3
    m-8
    8
    =
    6-m
    4
    ，
    ∴m2-4m+60=0，
    解得：m=10或x=-6，
    此时不存在点M，使△AMN与△ACD相似．
    综上所述，存在点M（
    5
    2
    ，-
    7
    4
    ）或（
    11
    2
    ，
    1
    4
    ），使得△AMN与△ACD相似．

    （4）设P（p，-
    1
    3
    p2+
    10
    3
    p-8），在y=-
    1
    3
    x2+
    10
    3
    x-8中，令y=0，得x=4或x=6；
    ∴
    7
    2
    ≤x≤7分为
    7
    2
    ≤x＜4，4≤x＜6和6≤x≤7三个区间讨论：
    ①如图，当
    7
    2
    ≤x＜4时，过点P作PH⊥x轴于点H，则OH=p，HA=6-p，PH=
    1
    3
    p2-
    10
    3
    p+8；
    ∴S△ABP=S△OAB-S梯形OBPH-S△APH
    =
    1
    2
    •6•8-
    1
    2
    •（
    1
    3
    p2-
    10
    3
    p+8）•p-
    1
    2
    •（6-p）•（
    1
    3
    p2-
    10
    3
    p+8）
    =-p2+6p=-（p-3）2+9
    ∴当
    7
    2
    ≤x＜4时，S△ABP随p的增大而减小；
    ∴当x=
    7
    2
    时，S△ABP取最大值，且最大值为
    35
    4
    ．
    ②如图，当4≤x＜6时，过点P作PH⊥BC于点H，过点A作AG⊥BC于点G；
    则BH=p，HG=6-p，PH=-
    1
    3
    p2+
    10
    3
    p-8+8=-
    1
    3
    p2+
    10
    3
    p．
    ∴S△ABP=S△BPH+S梯形PHGA-S△ABG
    =
    1
    2
    •（-
    1
    3
    p2+
    10
    3
    p）•p+
    1
    2
    •（-
    1
    3
    p2+
    10
    3
    p+8）•（6-p）-
    1
    2
    •6•8
    =-p2+6p=-（p-3）2+9
    ∴当4≤x＜6时，S△ABP随p的增大而减小；
    ∴当x=4时，S△ABP取得最大值，且最大值为8．
    ③如图，当6≤x≤7时，过点P作PH⊥x轴于点H；则OH=p，HA=p-6，PH=
    1
    3
    p2-
    10
    3
    p+8．
    ∴S△ABP=S梯形OBPH-S△OAB-S△APH
    =
    1
    2
    •（
    1
    3
    p2-
    10
    3
    p+8）•p-
    1
    2
    •6•8-
    1
    2
    •（p-6）•（
    1
    3
    p2-
    10
    3
    p+8）
    =p2-6p=（p-3）2-9
    ∴当6≤x≤7时，S△ABP随p的增大而增大；
    ∴当x=7时，S△ABP取得最大值，最大值为7；
    综上所述，当x=
    7
    2
    时，S△ABP取得最大值，最大值为
    35
    4
    ．
    点评：该题主要考查了矩形的性质、函数解析式的确定、相似三角形的判定和性质以及图形面积的求法等重要知识；后两个小题涉及了多种情况，容易出现漏解的情况，是本题易错的地方．
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    120
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    		3
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    12
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