Question

10．操作：有2张边长都是2的正方形纸片A和B，请你将纸片A的一边的一个端点放在纸片B的对称轴L上，另一个端点与纸片B的一个顶点重合后压平．求纸片A与纸片B重合部分的面积．

Answer 1

分析 如图，设纸片A与纸片B重合部分为四边形EFGH或四边形GFNM，根据已知条件得：EF=FG=FN=2，∠E=∠FGH=∠N=∠FGM=∠P=90°，证得R_t△EFH≌R_t△FGH，得到HG=EH，同理可证R_t△FGM≌R_t△FNM，得到GM=NM，设GM=NM=x，HG=EH=y，则PM=2-x，PH=2-y，HM=x+y，在R_t△PHM中，HM²=PH²+PM²，即（x+y）²=（2-x）²+（2-y）² ①，根据相似三角形的性质得到$\frac{1}{2-x}=\frac{2}{x+y}$，于是得到y=-3x+4 ②，把②代入①，求出MN=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，EH=4-2$\sqrt{3}$，即可得到结果．

解答 解：如图，设纸片A与纸片B重合部分为：四边形EFGH或四边形GFNM，
根据已知条件得：EF=FG=FN=2，∠E=∠FGH=∠N=∠FGM=∠P=90°，
在R_t△EFH与R_t△FGH中，
$\left\{\begin{array}{l}{EF=FG}\\{FH=FH}\end{array}\right.$，
∴R_t△EFH≌R_t△FGH，
∴HG=EH，
同理R_t△FGM≌R_t△FNM，
∴GM=NM，
设GM=NM=x，HG=EH=y，则PM=2-x，PH=2-y，HM=x+y，
在R_t△PHM中，HM²=PH²+PM²，
即（x+y）²=（2-x）²+（2-y）² ①，
∵∠GFQ=∠PMH=180°-∠HMN，∠FQG=∠FGM=90°，
∴△FQG∽△HPM，
∴$\frac{FQ}{PM}=\frac{FG}{HM}$，
∴$\frac{1}{2-x}=\frac{2}{x+y}$，
∴y=-3x+4 ②，
把②代入①，解得：x=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，y=4-2$\sqrt{3}$，
∴MN=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，EH=4-2$\sqrt{3}$，
∴四边形EFGH的面积=2×$\frac{1}{2}×2×（4-2\sqrt{3}）$=8-4$\sqrt{3}$，
四边形GFNM面积=2×$\frac{1}{2}×2×\frac{2\sqrt{3}}{3}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
∴纸片A与纸片B重合部分为：8-4$\sqrt{3}$，$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查了翻折变换-折叠问题，正方形的性质，三角形面积的求法，相似三角形的判定和性质，正确的画出图形是解题的关键．