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    4．如图①，OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O为原点，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，OA=5，OC=4．
    （1）在OC边上取一点D，将纸片沿AD翻折，使点O落在BC边上的点E处，则D点的坐标（0，2.5）；E点的坐标（2，4）．
    （2）如图②，若AE上有一动点P（不与A、E重合）自A点沿AE方向向E点匀速运动，运动的速度为每秒1个单位长度，设运动的时间为t秒（0＜t＜5），过P点作ED的平行线交AD于点M，过点M作AE的平行线交DE于点N．求四边形PMNE的面积S与时间t之间的函数关系式；
    （3）在（2）的条件下，当t为何值时，以A、M、E为顶点的三角形为等腰三角形，并求出相应时刻点M的坐标．

    分析 （1）根据折叠的性质可知：AE=OA，OD=DE，那么可在直角三角形ABE中，用勾股定理求出BE的长，进而可求出CE的长，也就得出了E点的坐标．在直角三角形CDE中，CE长已经求出，CD=OC-OD=4-OD，DE=OD，用勾股定理即可求出OD的长，也就求出了D点的坐标；
    （2）很显然四边形PMNE是个矩形，可用时间t表示出AP，PE的长，然后根据相似三角形APM和AED求出PM的长，进而可根据矩形的面积公式得出S，t的函数关系式，根据函数的性质即可得出S的最大值及对应的t的值；
    （3）本题要分三种情况进行讨论：（Ⅰ）ME=MA时，此时MP为三角形ADE的中位线，那么AP=$\frac{1}{2}$，据此可求出t的值，过M作MF⊥OA于F，那么MF也是三角形AOD的中位线，M点的横坐标为A点横坐标的一半，纵坐标为D点纵坐标的一半．由此可求出M的坐标．（Ⅱ）当MA=AE时，先在直角三角形OAD中求出斜边AD的长，然后根据相似三角形AMP和ADE来求出AP，MP的长，也就能求出t的值．根据折叠的性质，此时AF=AP，MF=MP，也就求出了M的坐标；（Ⅲ）EM=EA的情况不成立．

    解答 解：（1）依题意可知，折痕AD是四边形OAED的对称轴，
    ∵在Rt△ABE中，AE=AO=5，AB=4，BE=$\sqrt{A{E}^{2}-A{B}^{2}}$=3．
    ∴CE=2．
    ∴E点坐标为（2，4）．
    在Rt△DCE中，DC2+CE2=DE2，
    又∵DE=OD．
    ∴（4-OD）2+22=OD2．
    解得：OD=2.5．
    ∴D点坐标为（0，2.5）．
    故答案为：（0，2.5），（2，4）；
    （2）∵PM∥ED，
    ∴△APM∽△AED．
    ∴PM：ED=AP：AE，
    ∴PM=$\frac{AP•ED}{AE}$，
    又∵AP=t，ED=2.5，AE=5，
    ∴PM=$\frac{\frac{5t}{2}}{5}$=$\frac{1}{2}$t，
    ∵PM∥DE，MN∥EP，
    ∴四边形NMPE为平行四边形．
    又∵∠DEA=90°，
    ∴四边形PMNE为矩形．
    ∴S矩形PMNE=PM•PE=$\frac{1}{2}$t（5-t）=-$\frac{5}{2}$t2-+$\frac{5}{2}$t．
    ∴S矩形PMNE=-$\frac{1}{2}$（t-$\frac{5}{2}$）2+$\frac{25}{8}$，
    又∵0＜$\frac{5}{2}$＜5．
    ∴当t=$\frac{5}{2}$时，S矩形PMNE有最大值$\frac{25}{8}$．
    （3）（Ⅰ）若以AE为等腰三角形的底，则ME=MA（如图①）

    在Rt△AED中，ME=MA，
    ∵PM⊥AE，
    ∴P为AE的中点，
    ∴t=AP=$\frac{1}{2}$AE=2.5．
    又∵PM∥ED，
    ∴M为AD的中点．
    过点M作MF⊥OA，垂足为F，则MF是△OAD的中位线，
    ∴MF=$\frac{1}{2}$OD=$\frac{5}{4}$，OF=$\frac{1}{2}$OA=2.5，
    ∴当t=2.5时，（0＜2.5＜5），△AME为等腰三角形．
    此时M点坐标为（2.5，1.25）．
    （Ⅱ）若以AE为等腰三角形的腰，则AM=AE=5（如图②）

    在Rt△AOD中，AD=$\sqrt{O{D}^{2}+A{O}^{2}}$=$\frac{5\sqrt{5}}{2}$．
    过点M作MF⊥OA，垂足为F．
    ∵PM∥ED，
    ∴△APM∽△AED．
    ∴AP：AE=AM：AD．
    ∴t=AP=$\frac{AM•AE}{AD}$=2$\sqrt{5}$．
    ∴PM=$\frac{1}{2}$t=$\sqrt{5}$．
    ∴MF=MP=$\sqrt{5}$，OF=OA-AF=OA-AP=5-2$\sqrt{5}$，
    ∴当t=2$\sqrt{5}$时，（0＜2$\sqrt{5}$＜5），此时M点坐标为（5-2$\sqrt{5}$，$\sqrt{5}$）．
    （Ⅲ）根据图形可知EM=EA的情况不成立．
    综合综上所述，当t=2.5或t=2$\sqrt{5}$时，以A，M，E为顶点的三角形为等腰三角形，相应M点的坐标为（$\frac{5}{2}$，$\frac{5}{4}$）或（5-2$\sqrt{5}$，$\sqrt{5}$）．

    点评 本题主要考查了矩形的性质、勾股定理、图形的翻折变换、角平分线的性质、相似三角形的判定和性质以及二次函数的综合应用，由以A，M，E为顶点的三角形为等腰三角形进行分类讨论是解题的关键．

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